Funciones Elementales

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Apéndice B
Algunas funciones elementales
B.1. Función potencia n-ésima
Una función potencia n-ésima es una función de la forma
f ( x) = x n
donde la base x es una variable y el exponente n un número natural. Es la
forma más sencilla de las funciones polinómicas

f ( x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + ... + a1 x + a0
Las funciones potencia n-ésima están definidas para todo número real,por
lo que su dominio es . Son continuas en todo su dominio.
El recorrido de las funciones potencia n-ésima será:
-El intervalo [0, ∞ ) si n es par.
-Todo
si n es impar.
En una función polinómica f ( x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 el
término de mayor grado es el que determina su comportamiento en el
infinito. Esto se debe a que, si n > m , la función x n crece más rápidoque la
función x m , para x > 1 . Su comportamiento en el infinito depende de si n es
par o impar y del signo de an :
⎧ lim
⎪ x → ±∞
n par ⎨
⎪ xlim
⎩ → ±∞

f ( x ) = +∞

si an > 0

f ( x ) = −∞ si an < 0

2

⎧ lim
⎪ x → ±∞
n impar ⎨
⎪ xlim
⎩ → ±∞

f ( x ) = ±∞ si an > 0
f ( x ) = ∓ ∞ si an < 0

Se representan a continuación dos ejemplos de función potencia n-ésima.Fig. B.1. Función y = x 2

Fig. B.2. Función y = x 3

B.1.1 Binomio de Newton

Es la potencia n-ésima de la suma de dos números reales. Su expresión
desarrollada es la siguiente:
⎛ n⎞
⎛ n⎞
⎛ n⎞
⎛ n⎞
(a + b) n = ⎜ ⎟a n b 0 + ⎜ ⎟a n −1b 1 + ... + ⎜ ⎟a n −i b i + ... + ⎜ ⎟a 0 b n
⎜ n⎟
⎜i ⎟
⎜1 ⎟
⎜0⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛n ⎞
Los coeficientes ⎜ ⎟ se denominan números combinatorios y se⎜m⎟
⎝ ⎠
calculan del siguiente modo:
⎛n ⎞
n!
⎜ ⎟=
⎜ m ⎟ m! ⋅ (n − m)!
⎝ ⎠
⎛6⎞
6!
6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
Ejemplo: ⎜ ⎟ =
⎜ 2 ⎟ 2! ⋅ (6 − 2)! = ( 2 ⋅ 1) ⋅ ( 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1) = 15 .
⎝ ⎠
Calculando de la misma forma los demás coeficientes, obtenemos:
⎛6⎞
⎛6⎞
⎛6⎞
⎛6⎞
⎛6⎞
⎛6⎞
⎛6⎞
( a + b) 6 = ⎜ ⎟a 6 + ⎜ ⎟a 5b + ⎜ ⎟a 4 b 2 + ⎜ ⎟a 3b 3 + ⎜ ⎟a 2 b 4 + ⎜ ⎟ab 5 + ⎜ ⎟b 6 =
⎜6⎟
⎜1 ⎟
⎜5⎟
⎜0⎟⎜4⎟
⎜3⎟
⎜2⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
6
5
4 2
3 3
2 4
5
6
= a + 6a b + 15a b + 20a b + 15a b + 6ab + b

3

Propiedades de los números combinatorios

⎛ n⎞
⎛ n⎞
I. ⎜ ⎟ = 1, ⎜ ⎟ = 1
⎜ n⎟
⎜0⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛n ⎞ ⎛ n ⎞
II. ⎜ ⎟ = ⎜
⎟
⎜ m⎟ ⎜ n − m⎟
⎠
⎝ ⎠ ⎝
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n + 1⎞
III. ⎜
⎟
⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎜ n − 1⎟ + ⎜ m ⎟ = ⎜ m ⎟
⎠
⎠ ⎝ ⎠ ⎝
⎝

1
121
1331
14641
...

Estastres propiedades se reflejan en el triángulo de Tartaglia o de
Pascal, formado por los números combinatorios. Vemos que se cumple:
1. Los extremos de cada fila valen 1 (propiedad I).
2. El triángulo es simétrico (propiedad II).
3. Cada número es suma del que tiene encima y el
que está a la izquierda de este (propiedad III).

B.2 Función exponencial. Función logarítmica
Una funciónexponencial es una función de la forma f ( x ) = a x , donde la
base a es un número real positivo y el exponente x es una variable. En todas
las funciones exponenciales se verifica f (0) = 1 , pues a 0 = 1 para cualquier
a, por lo que todas pasan por el punto (0,1).

y su recorrido es el
El dominio de la función exponencial es todo
intervalo (0, ∞ ) . Las funciones exponenciales son continuas entodo .
El crecimiento y decrecimiento de las funciones exponenciales depende
del valor de a:
Si a > 1 la función exponencial es creciente en todo .
Si 0 < a < 1 la función exponencial es decreciente en todo

.

El comportamiento en el infinito también depende del valor de la base:
a > 1 ⇒ lim a x = 0 , lim a x = +∞
x →−∞

x →+∞

a < 1 ⇒ lim a = +∞ , lim a x = 0
x

x →−∞

x →+∞Una función exponencial de especial importancia es y = e x .

4

Representamos dos ejemplos de función exponencial, de bases mayor y
menor que 1 respectivamente.

Fig. B.4. Función y = ( 1 )
2

Fig. B.3. Función y = 2 x

x

Tras haber visto las características principales de las funciones potencia nésima y exponencial, recordamos las operaciones principales relativas a este...