funciones en r

FUNCIONES EN R
Alexis Vera P´erez
Instituto de Estad´ıstica & Sistemas Computarizados de Informaci´on
Universidad de Puerto Rico, Recinto de R´ıo Piedras
Agosto 2007

1

Definici´
on y notaci´
on

Definici´
on 1 Una funci´
on es una relaci´
on de correspondencia entre los
elementos de dos conjuntos (Dominio y Campo de Valores) donde a cada
elemento en el dominio se le asigna unoy solamente un elemento en el
campo de valores.
Podemos utilizar varias formas para denotar una funci´on f . Por lo general
las funciones que estudiamos le asignan a cada n´
umero real en su dominio
un n´
umero real.
Esto es,
f : R −→ R
En general, funciones que van desde un conjunto A hasta un conjunto B,
las denotamos f : A −→ B.
A cada elemento en el campo de valores se le llama im´agen de la funci´on.
Si f es la funci´on que a cada n´
umero real x le asigna x + 7, escribimos
f :x→x+7
Para indicar la im´
agen de x en f utilizamos la notaci´on
f (x) = x + 7
y se lee “f de x es igual a x + 7”.
1

2 DOMINIO Y CAMPO DE VALORES

EJEMPLO
Si f (x) = x2 + 1, indica f (2), f (π) y f (x + h).
• f (2) = 22 + 1 = 4 + 1 = 5
• f (π) = π 2 + 1
• f (x + h) = (x + h)2 + 1 =x2 + 2xh + h2 + 1

2

Dominio y Campo de valores

Definici´
on 2 El dominio de una funci´on f : R −→ R es el conjunto de
n´
umeros reales para los cuales la im´agen de f es un n´
umero real. Esto es,
Df = {x ∈ R | f (x) ∈ R}
EJEMPLO
√
Indica el dominio de las siguientes funciones: f (x) = 3x + 2, g(x) = x − 1
x2 + 6
y h(x) =
2−x
• Df = {x ∈ R | f (x) ∈ R} = {x ∈ R | 3x + 2 ∈ R}= R
√
• Sabemos que para que x − 1 sea un n´
umero real el radicando tiene
que ser mayor o igual a cero. Por lo tanto, x − 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1. As´ı que
Dg = {x ∈ R | x ≥ 1} = [1, ∞).
• Para que h est´e definida sobre R su denominador tiene que ser diferente
de cero. Por lo tanto, 2 − x = 0 ⇒ 2 = x. As´ı que
Dh = {x ∈ R | x = 2}.
Definici´
on 3 El campo de valores de una funci´on f : A −→ R esel
conjunto de y ∈ R tales que existe al menos un x ∈ A, y = f (x). Esto es,
CVf = {y ∈ R | (∃x ∈ A) ∧ (y = f (x))}
EJEMPLO
Sea f (x) = x3 + 5. Vemos que f siempre est´a definida sobre los reales (i.e.
Df = R). ¿Existe para todo y ∈ R alg´
un x tal que x3 + 5 = y? Si es cierto,
entonces CVf = R.
2

´ DE FUNCIONES
4 COMPOSICION

3

Algebra de las funciones

De igual forma que conlos n´
umeros reales, podemos efectuar operaciones de
suma, resta, multiplicaci´
on y divisi´
on con funciones.
Definici´
on 4 Si f , g son funciones y x ∈ (Df ∩ Dg ), entonces podemos
definir las siguientes funciones:
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
suma de f y g
(f g)(x) = f (x) · g(x)
producto de f y g
EJEMPLO √
Sean f (x) = x + 1 y g(x) = x2 .
• indica el dominio de f + g; f g.
•Halla una f´ormula para (f + g)(x); (f g)(x).
SOLUCION
• Sabemos que Df = [−1, ∞) y Dg = R.
Entonces Df ∩ Dg = [−1, ∞) = Df +g = Df g .
√
• (f + g)(x) = f (x) + g(x) =√ x + 1 + x2 .
(f g)(x) = f (x) · g(x) = x2 x + 1.
Definici´
on 5 ∀x ∈ (Df ∩ Dg ), definimos
(f − g)(x) = f (x) − g(x)
∀x ∈ (Df ∩ Dg ), tal que g(x) = 0, definimos
f
g

4

(x) =

f (x)
g(x)

Composici´
on defunciones

Muchas de las funciones que estudiamos se pueden expresar
√ como la composici´
on de dos funciones m´as sencillas. Por ejemplo, f (x) = x + 1 se puede
√
expresar como la composici´on de las funciones ϕ(x) = x + 1 y θ(x) = x.
3

5 FUNCIONES INVERSAS
Definici´
on 6 La composici´
on de las funciones f y g (i.e. f ◦ g) se define
(f ◦ g)(x) = f (g(x))
Definici´
on 7 El dominio de f◦ g se define
Df ◦g = {x ∈ R | (x ∈ Dg ) ∧ (g(x) ∈ Df )}
EJEMPLO
√
Si f (x) = x3 y g(x) = 3 x, halla una f´ormula para f ◦ g.
SOLUCION
√
√
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ( 3 x) = ( 3 x)3 = x
EJEMPLO
√
Sean f (x) = x2 + 1 y g(x) = x. Halla una f´ormula para f ◦ g e indica su
dominio.
SOLUCION
√
√ 2
(f
◦
g)(x)
=
f
(g(x))
=
f
(
x)
=
(
x) + 1 = x + 1. Por la definici´on 7,
√...