funciones hiperbolicas

FUNCIONES HIPERBOLICAS
Definiciones e Identidades
Las combinaciones
Cosh u = ½ ( e ^u + e ^-u) ( coseno hiperbólico de u)
Senh u = ½ ( e ^u - e ^-u) ( seno hiperbólico de u)
se presentan con tanta frecuencia en las aplicaciones que ha creído conveniente darles un nombre especial. De momento puede que no este clara la ecuación de los nombres introducidos, que resultaran obvios mas adelante.Estas funciones se relacionan entre sí mediante reglas muy parecidas a las reglas que relacionan a las funciones cos u y sen u. Así como cos u y sen u pueden identificarse con el punto ( x, y) en el circulo unitario x² + y² = 1, así también las funciones cosh u y senh u pueden identificarse con las coordenadas de un punto ( x, y) sobre la hipérbola unitaria x² - y² =1.
A propósito suelepronunciarse cosh u como “cosh u” y senh u como “ senh u”.
Para comprobar que el punto de coordenadas x = cosh u e y = senh u esta sobre la hipérbola unitaria, sustituimos las relaciones que las definen en la ecuación de la hipérbola:
x² - y² =1
cosh² u - senh² u = 1
¼ ( e ^ 2u + 2 + e ^ -2u) - ¼ (e ^ 2u - 2 + e ^ -2u) = 1
¼ ( e ^ 2u + 2 + e ^ -2u - e ^ -2u + 2 - e ^ -2u) = 1
¼ ( 4) = 1
Enrealidad, si hacemos
x = cosh u = ½ ( e ^ u + e ^ -u).
y = senh u = ½ ( e ^ u - e ^ -u).
entonces, cuando u varia de - oo a + oo, el punto P ( x, y) describe la rama derecha de la hipérbola x² - y² = 1.
El primer elemento de la trigonometría hiperbólica que acabamos de establecer es la identidad básica
cosh² u - senh ² u = 1.
Esta expresión es análoga, pero no igual, a la identidad trigonometricaordinaria cos² u + sen² u = 1.
Las funciones hiperbólicas restantes se definen en términos de senh u y cosh u como sigue:
Tangente

Cotangente

Secante

Cosecante

Dividiendo la identidad por cosh² u, resulta
1 - tanh² u = sech² u
Si dividimos por senh² u, obtenemos
coth² u - 1 = csch² u
Se deduce que
cosh u + senh u = e ^ u
cosh u - senh u = e ^ -u
Es, pues, evidente que cualquiercombinación de las exponenciales e ^ u y e ^ -u puede sustituirse por una combinación de senh u y cosh u, y viceversa.
Como e ^ -u es positivo, se muestra que cosh u siempre es mayor que senh u. Pero para valores grandes de u, e ^ -u es pequeño y cosh u = senh u.
En x = 0, cosh x = 1 y senh x = 0, de modo que todas las funciones hiperbólicas tienen en x = 0 los mismos valores que las funcionestrigonometricas correspondientes. El coseno hiperbólico es una funcion par, esto es,
cosh ( -x) = cosh x,
y el seno hiperbólico es una función impar, es decir,
senh (-x) = - senh x ;
de manera que la primera curva es simétrica respecto al eje x y la segunda lo es respecto al origen. Las funciones hiperbólicas se comportan también en esto como las funciones trigonométricas ordinarias ( ocirculares).
GRAFICAS DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS
SENO HIPERBÓLICO:
COSENO HIPERBÓLICO

TANGENTE HIPERBÓLICA

COTANGENTE HIPERBÓLICA

SECANTE HIPERBÓLICA

COSECANTE HIPERBÓLICA

DOMINIOS Y RANGOS
SENO HIPERBÓLICO
DOMINIO : Reales
RANGO : Reales
COSENO HIPERBÓLICO
DOMINIO : Reales
RANGO : ( 1, oo)
TANGENTE HIPERBÓLICA
DOMINIO : Reales
RANGO : ( -1, 1)
COTANGENTE HIPERBÓLICADOMINIO : ( -oo, 0) ( 0, oo)
RANGO : ( -oo, -1 ) ( 1, oo)
SECANTE HIPERBÓLICA
DOMINIO : Reales
RANGO : ( 0, 1)
COSECANTE HIPERBÓLICA
DOMINIO : ( -oo, 0) ( 0, oo)
RANGO : ( -oo, 0) ( 0, oo)
IDENTIDADES
Mediante las definiciones y algo de álgebra se obtienen las identidades
senh ( x + y) = senh x cosh y + cosh x senh y
cosh ( x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y
Las cuales, haciendo y = x,Senh 2x = 2 senh x cosh x
Cosh 2x = cosh² x + senh² x
La segunda de estas expresiones permite obtener formulas del “ ángulo medio” sin mas que combinar la identidad
1 = cosh² x - senh² x.
Sumando resulta
cosh 2x + 1 = 2 cosh² x
mientras que si restamos se tiene
cosh 2x - 1 = 2 senh² x
Sustituyendo x = u / 2 y extrayendo raíces cuadradas, obtenemos las formulas
Cosh u /2 =* cosh u + 1 /...