Funciones Hiperbolicas

Las funciones hiperbólicas son análogas a las funciones trigonométricas. Estas son:

Curvas de la funciones hiperbólicas sinh, cosh y tanh

Curvas de las funciones hiperbólicas csch, sech y coth
El seno hiperbólico

El coseno hiperbólico

La tangente hiperbólica

funciones hiperbólicas
Conjunto de funciones definidas de la siguiente manera:
seno hiperbólico: | senh x = (1/2)(ex - e-x) |
coseno hiperbólico: | cosh x = (1/2) (ex + e-x) |
tangente hiperbólica: | tanh x = senh x / cosh x |
cotangente hiperbólica: | coth x = 1 / tanh x |
secante hiperbólica: | sech x = 1 / cosh x |
cosecante hiperbólica: | cosech x = 1 / senh x |
Se llaman funciones hiperbólicas, porque de alguna manera tienen propiedades similares a las funciones trigonométricas y serelacionan con la hipérbola en la forma en la que las funciones circulares (funciones trigonométricas) se relacionan con el círculo.La siguiente es una lista de algunas relaciones fundamentales entre las funciones hiperbólicas:
senh (-x) = -senh (x)
cosh (-x) = +cosh (x)
cosh2x - senh2x = 1
sech2x + tanh2x = 1
coth2x - cosech2x = 1

y otras líneas:

(cotangente hiperbólica)(secante hiperbólica)

(cosecante hiperbólica)
Contenido[ocultar] * 1 Relación entre funciones hiperbólicas y funciones circulares * 2 Relaciones * 2.1 Ecuación fundamental * 2.2 Duplicación del argumento * 2.3 Derivación e integración * 3 Inversas de las funciones hiperbólicas * 4 Relación con la función exponencial * 5 Véase también * 6 Enlaces externos |[editar] Relación entre funciones hiperbólicas y funciones circulares
Las funciones trigonométricas sin(t) y cos(t) pueden ser las coordenadas cartesianas (x,y) de un punto P sobre la circunferencia unitaria centrada en el origen, donde es t el ángulo, medido en radianes, comprendido entre el semieje positivo X, y el segmento OP, según las siguientes igualdades:

También puede interpretarse elparámetro t como la longitud del arco de circunferencia unitaria comprendido entre el punto (1,0) y el punto P, o como el doble del área del sector circular determinado por el semieje positivo X, el segmento OP y la circunferencia unitaria.

Animación de la representación del seno hiperbólico.
De modo análogo, podemos definir las funciones hiperbólicas, como las coordenadas cartesianas(x,y) de un punto P de la hipérbola equilátera, centrada en el origen, cuya ecuación es

siendo t el doble del área de la región comprendida entre el semieje positivo X, y el segmento OP y la hipérbola, según las siguientes igualdades:

Sin embargo, también puede demostrarse que es válida la siguiente descripción de la hipérbola:

dado que

De modo que el coseno hiperbólico y elseno hiperbólico admiten una representación en términos de funciones exponenciales de variable real:

[editar] Relaciones
[editar] Ecuación fundamental

[editar] Duplicación del argumento

[editar] Derivación e integración

Además la integración al ser la operación inversa de la derivación es trivial en este caso.
La derivada de sinh(x) está dada por cosh(x) y la derivada de cosh(x)es sinh(x). El gráfico de la función cosh(x) se denomina catenaria.
[editar] Inversas de las funciones hiperbólicas
Las funciones recíprocas de las funciones hiperbólicas son:

Las series de Taylor de las funciones inversas de las funciones hiperbólicas vienen dadas por:

[editar] Relación con la función exponencial
De la relación del coseno y seno hiperbólico se pueden derivar lassiguientes relaciones:

y

Estas expresiones son análogas a las que están en términos de senos y cosenos, basadas en la fórmula de Euler, como suma de exponenciales complejos.
[editar] Véase también
* Trigonometría
* Funciones trigonométricas
* Logaritmo natural
* Número e
[editar] Enlaces externos
* Teorema Fundamental de la Trigonometría Hiperbólica
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