Funciones Ortogonales Y Ortonorlmales

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5.1 Función ortogonal
En análisis funcional, se dice que dos funciones f y g de un cierto espacio son ortogonales si su producto escalar  es nulo.
Que dos funciones particulares sean ortogonales depende de cómo se haya definido su producto escalar, es decir, de que el conjunto de funciones haya sido dotado de estructura de espacioprehilbertiano. Una definición muy común de producto escalar entre funciones es:

con límites de integración apropiados y donde * denota complejo conjugado y w(x) es una función peso (en muchas aplicaciones se toma w(x) = 1. Véase también espacio de Hilbert para más detalles.
Las soluciones de un problema de Sturm-Liouville, es decir, las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones deborde adecuadas pueden escribirse como una suma ponderada de funciones ortogonales (conocidas también como funciones propias). Así las soluciones del problema:

Forman un espacio prehilbertiano bajo el producto vectorial definido por (1).

Ejemplos de conjuntos de funciones ortogonales:
* Polinomios de Hermite
* Polinomios de Legendre
* Armónicos esféricos
* Funciones de Walsh-------------------------------------------------

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Polinomios de Hermite
Los polinomios de Hermite son un ejemplo de polinomios ortogonales que encuentran su principal ámbito de aplicaciones en mecánica cuántica, sobre todo en el estudio del oscilador armónico unidimensional. Son nombrados así en honor de Charles Hermite.-------------------------------------------------

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Polinomios de Legendre
En matemáticas al resolver la formula de Rodrigues, las Funciones de Legendre son las soluciones a las Ecuaciones Diferenciales de Legendre:

llamadas así por el matemático francés Adrien-Marie Legendre. Estas ecuaciones se encuentran frecuentemente en Física. En particular, aparecen cuandose resuelve la ecuación de Laplace (un tipo de ecuación en derivadas parciales) en coordenadas esféricas mediante el método de separación de variables.
La ecuación diferencial de Legendre puede resolverse usando el método de serie de potencias. En general la serie de potencias obtenida converge cuando |x| < 1 y en el caso particular de que n sea un entero no negativo (0, 1, 2,...) lassoluciones forman una familia de polinomios ortogonales llamados Polinomios de Legendre.
Cada polinomio de Legendre Pn(x) es un polinomio de grado n. Éste puede ser expresado usando la Fórmula de Rodrigues:

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Armónicos esféricos
En matemáticas, los armónicos esféricos son funciones armónicas que representan la variación espacial de unconjunto ortogonal de soluciones de la ecuación de Laplace cuando la solución se expresa en coordenadas esféricas.
Los armónicos esféricos son importantes en muchas aplicaciones teóricas y prácticas, en particular en la física atómica (dado que la función de onda de los electrones contiene armónicos esféricos) y en la teoría del potencial que resulta relevante tanto para el campo gravitatorio como parala electrostática.

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Función de Walsh
En análisis matemático, el conjunto de las funciones de Walsh forman una base ortogonal de las Funciones de cuadrado integrable en el intervalo unidad. Las funciones toman únicamente los valores -1 y 1, en subintervalos definidos por fracciones diádicas. Son muy usadas en electrónica y otras aplicaciones de ingeniería.Las funciones ortogonales de Walsh son usadas para realizar la transformada de Hadamard, que es muy similar a la forma en que las ondas senoidales son usadas para realizar la transformada de Fourier.
Las funciones de Walsh están relacionadas con las funciones de Haar, ya que ambas forman un sistema ortogonal completo. El sistema de funciones de Haar puede ser por un lado preferible debido a...