Funciones Y Ecuaciones Polinómicas

FUNCIONES Y ECUACIONES POLINÓMICAS.

5.5 Teoremas del residuo y del factor.
5.5.1 Algoritmo de la división. Para cada polinomio  de grado mayor o igual a uno y para cada número , existe unpolinomio único  de un grado menor que el de  y un número único R, tal que:
.
Al polinomio  se le denomina cociente,  en el divisor y R es el residuo.
5.5.2 Teorema del residuo. Si  es el residuo dedividir el polinomio  entre , entonces .
Demostración.
Como  por el algoritmo de la división, se tiene que si , .
O sea, .
Ejemplo 7.
Hállese el residuo de dividir el polinomio  entre .
Solución. se puede escribir como , por tanto .
.
.
O sea que el residuo es 2.
5.5.2 Teorema del factor. Si  es un cero del polinomio , entonces  es un factor de .
Demostración.
Si  es un cero de , .
Peropor el algoritmo de la división .
Como , .
Por tanto,  y .
Ejemplo 8.
Use el teorema del factor para probar que  es un factor de .
Solución.
, así .
.
Luego –1 es un cero de .
Así  es unfactor de .
5.5.3 Teorema de los n ceros. Todo polinomio de grado  con coeficientes reales o complejos se puede expresar como el producto de n factores lineales.
Por tanto, tiene exactamente n ceros, nonecesariamente distintos.
Ejemplo 9.
Si –2 es un cero de multiplicidad 2 de , escríbase  como un producto de factores lineales.
Solución.
Como –2 es un cero de multiplicidad 2, se tiene que,
.
..
.
Al usar la formula cuadrática, se hallan los ceros de  que son , .
Así,  escrito como el producto de factores lineales es,
            .
5.5.4 Teorema de los ceros complejos. Los ceroscomplejos de polinomios con coeficientes reales, si existen, se presentan en pares conjugados.
Como consecuencia del teorema anterior, se sabe que si un polinomio con coeficientes reales es de gradoimpar, siempre tiene al menos un cero real.
Ejemplo 10.
Si  es un polinomio de tercer grado con coeficientes reales, entonces una de las siguientes afirmaciones es falsa:
            a.  tiene al...