Funciones Y Ecuaciones Polinómicas
5.5 Teoremas del residuo y del factor.
5.5.1 Algoritmo de la división. Para cada polinomio de grado mayor o igual a uno y para cada número , existe unpolinomio único de un grado menor que el de y un número único R, tal que:
.
Al polinomio se le denomina cociente, en el divisor y R es el residuo.
5.5.2 Teorema del residuo. Si es el residuo dedividir el polinomio entre , entonces .
Demostración.
Como por el algoritmo de la división, se tiene que si , .
O sea, .
Ejemplo 7.
Hállese el residuo de dividir el polinomio entre .
Solución. se puede escribir como , por tanto .
.
.
O sea que el residuo es 2.
5.5.2 Teorema del factor. Si es un cero del polinomio , entonces es un factor de .
Demostración.
Si es un cero de , .
Peropor el algoritmo de la división .
Como , .
Por tanto, y .
Ejemplo 8.
Use el teorema del factor para probar que es un factor de .
Solución.
, así .
.
Luego –1 es un cero de .
Así es unfactor de .
5.5.3 Teorema de los n ceros. Todo polinomio de grado con coeficientes reales o complejos se puede expresar como el producto de n factores lineales.
Por tanto, tiene exactamente n ceros, nonecesariamente distintos.
Ejemplo 9.
Si –2 es un cero de multiplicidad 2 de , escríbase como un producto de factores lineales.
Solución.
Como –2 es un cero de multiplicidad 2, se tiene que,
.
..
.
Al usar la formula cuadrática, se hallan los ceros de que son , .
Así, escrito como el producto de factores lineales es,
.
5.5.4 Teorema de los ceros complejos. Los ceroscomplejos de polinomios con coeficientes reales, si existen, se presentan en pares conjugados.
Como consecuencia del teorema anterior, se sabe que si un polinomio con coeficientes reales es de gradoimpar, siempre tiene al menos un cero real.
Ejemplo 10.
Si es un polinomio de tercer grado con coeficientes reales, entonces una de las siguientes afirmaciones es falsa:
a. tiene al...
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