Funciones Y Formulas Trigonometricas

TEMA 5 – FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS – MATE I – 1º Bach

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TEMAS 5 – FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMETRÍAS
5.1 – UNIDAD PARA MEDIR ÁNGULOS: EL RADIÁN
DEFINICIÓN DE RADIAN Se llama radian a un ángulo tal que el arco que abarca tiene la misma longitud que el radio con el que se ha trazado. Ángulo completo =

2πr = 2π r

Nota: Si una circunferencia fuera el doble de grande, elradio también sería el doble, por lo que el ángulo correspondiente a un arco que mida como el radio sería el mismo. RELACIÓN ENTRE LAS UNIDADES DE MEDIDA DE ÁNGULOS 360º 2Π rad ó 180º Π rad

UTILIDAD DE LOS RADIANES Para los problemas de trigonometría, astronomía, navegación y resolución de triángulos en general, se usan las medidas de los ángulos en grados. Pero para representar y estudiarfunciones trigonométricas se utilizan los radianes. CALCULADORA Para hallar las razones trigonométricas de un ángulo dado en radianes, hay que empezar poniendo la calculadora en modo correspondiente (MODE RAD). El resto es igual que en grados.

5.2 – FUNCIONES CIRCULARES
FUNCIÓN SENO
Grados
Radianes

0º
0

30º
Π/6

45º
Π/4

60º
Π/3

90º
Π/2

120º 135º 150º
2Π/3 3Π/4 5Π/6

180º210º 225º 240º 270º 300º
Π 7Π/6 5Π/4 4Π/3 3Π/2 5Π/3

315º 330º 360º
7Π/4
11Π/6

2Π

seno

0

1/2

2/2

3/2

1

3/2

2/2

1/2

0

-1/2

-2/2

-3/2

-1

-3/2

-2/2

-1/2

0

TEMA 5 – FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS – MATE I – 1º Bach CARACTERÍSTICAS - Dominio : R - Recorrido : [-1,1] - Periodicidad : 2π - Continua - Creciente (0º+360ºk,90º+360ºk) ∪(270º+360ºk,360º+360ºk) - Decreciente (90º+360ºk,270º+360ºk) - Máximo x = 90º+360ºk y = 1 - Mínimo x = 270º+360ºk y = -1 - Concava: (0º+360ºk,180º+360ºk) - Convexa: (180º+360ºk,360º+360ºk) - Puntos de inflexión x = 0º+180ºk y = 0 FUNCIÓN COSENO
Grados
Radianes

2

0º
0

30º
Π/6

45º
Π/4

60º
Π/3

90º
Π/2

120º 135º 150º
2Π/3 3Π/4 5Π/6

180º 210º 225º 240º 270º 300º
Π 7Π/6 5Π/44Π/3 3Π/2 5Π/3

315º 330º 360º
7Π/4
11Π/6

2Π

cos

1

3/2

2/2

1/2

0

-1/2

-2/2

-3/2

-1

-3/2

-2/2

-1/2

0

-1/2

-2/2

-3/2

1

CARACTERÍSTICAS - Dominio : R - Recorrido : [-1,1] - Periodicidad : 2π - Continua - Creciente (180º+360ºk,360º+360ºk) - Decreciente (0º+360ºk,180º+360ºk) - Máximo x = 0º+360ºk y = 1 - Mínimo x = 180º+360ºk y = -1 -Concava: (0º+360ºk,90º+360ºk) ∪ (270º+360ºk,360º+360ºk) - Convexa: (90º+360ºk,270º+360ºk) - Puntos de inflexión x = 90º+180ºk y = 0

TEMA 5 – FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS – MATE I – 1º Bach FUNCIÓN TANGENTE
Grados
Radianes

3

0º
0

30º
Π/6

45º
Π/4

60º
Π/3

90º
Π/2

120º 135º 150º
2Π/3 3Π/4 5Π/6

180º 210º 225º 240º 270º 300º
Π 7Π/6 5Π/4 4Π/3 3Π/2 5Π/3

315º330º 360º
7Π/4
11Π/6

2Π

Tag

0

3/3

1

3

-3

-1

-3/3

0

3/3

1

3

-3

-1

-3/3

0

CARACTERÍSTICAS - Dominio : R – {90º+180ºk} - Recorrido : R - Periodicidad : π - Continua: R – {90º+180ºk} - Creciente R – {90º+180ºk} - Concava: (0º+180ºk,90º+180ºk) - Convexa: (90º+180ºk,180º+180ºk) - Puntos de inflexión x = 90º+180ºk y = 0

5.3 – FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICASRAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS Seno de la suma: sen (α + β ) = sen α.cos β + cos α.sen β α Sen (α + β) = BP = CA + AQ CA : cos α = CA/BA ⇒ CA = BA.cosα AQ : sen α = AQ/OA ⇒ AQ = OA.sen α BA = sen B OA = cos B Por tanto: sen (α + β) = sen β.cos α + cos β.sen α

TEMA 5 – FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS – MATE I – 1º Bach Coseno de la suma : cos (α + B) = cosα.cosα -senα.senβ α α α α β

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Cos (α + B) = sen [90º+(α+β)] = sen [(90º+α)+β] = sen(90º+α).cosβ + cos(90º+α).senB = cosα.cosB + (– sen α).sen β = cosα.cosβ - senα .senβ Tangente de la suma : tag(α + β ) =
tagα + tagβ 1 − tagα.tagβ

sen α. cos β cos α sen β + sen(α + β) sen α. cos β + cos α. sen β cos α. cos β cos α. cos β Tag(α+β) = = = = cos(α − β) cos α.. cos β − sen α. sen β cos α. cos β sen...