Funciones Trigonometricas

VI-a.1 Integración de funciones Trigonométricas elevadas a diferentes potencias. Integral trigonométrica.Es aquella cuya expresión diferencial por integrar contiene funciones trigonometriítas. En la integración de diferenciales trigonométricas, elevadas a diferentes exponentes de seno y coseno se presentan los siguientes casos: Caso I a)

b) el

∫ cos

n

v dv .‐ Si n es “par”, se procedecomo en
a) sustituyendo la identidad

inciso

cos 2 v =

1 1 + sen 2v .   2 2
m

c)

∫ sen

v cos n v dv .- Si m y n son pares se

descompone la mayor potencia de manera que seno y coseno tengan el mismo exponente y se sustituye la identidad sen v cos v =

1 sen 2v   y si 2

∫ sen

m

v dv .‐  Si m es “impar”, se descompone

senmv  en  sen m−1v   sen v , indicando senm−1v  como una
2 potencia de sen v y sustituyendo la identidad

es  necesaria alguna identidad de los incisos a) o b), se desarrolla y se integra.  Nota: Tener Cuidado que las funciones trigonométricas en una integral tengan el mismo ángulo. Ejemplo:

sen 2 v = 1− cos 2 v , se desarrolla y se integra.
b) en

∫ cos
el

n

v dv .‐ Si n es “impar”, se procede como
a) sustituyendo laidentidad

inciso

cos 2 v = 1 − sen 2 v .
c)

∫ cos

6

θ dθ

∫ sen

m

v cos n v dv .- Si m y n son impares (se

descompone de preferencia la menor potencia), o si m o n es impar (se descompone la potencia impar y se procede como en el inciso a) o b). Nota: En los procedimientos generalmente se aplica la fórmula:
n ∫ v dv =

Caso III a)

∫ sen mx sen nx dx .‐   siendo m ≠ n  
1[cos( A − B) − cos( A + B)].  2 cos nx dx .‐   siendo m ≠ n   1 [sen( A − B) + sen( A + B)] .  2

Se sustituye la identidad:

anteriores

senA senB =
b)

4

v n +1 +c   n +1

∫ sen mx

Se sustituye la identidad:

Ejemplo: 1)

senA cos B =
c)

∫ sen

7

3 x dx

∫ cos

mx cos nx dx .‐   siendo m ≠ n   1 [cos( A − B) + cos( A + B)].  2

Caso II a)

∫ sen

Sesustituye la identidad:
m

v dv .‐  Si m es “par”, se indica sen v  
m

cos A cos B =
Ejemplo:

2 como una potencia de sen v   y se sustituye la
2 identidad sen v =

1 1 − cos 2v ,  se desarrolla y se 2 2

integra o se repite este procedimiento o se aplica el caso I.

∫ sen x

cos 3 x dx

VI-a.2 Integración de funciones Trigonométricas elevadas a diferentes potencias. Integraciónde diferenciales trigonométricas, elevadas a diferentes exponentes de Tangente y secante (exceptuando los siguientes casos: Caso I a)

VI-a.3 Integración de funciones Trigonométricas elevadas a diferentes potencias. Integración de diferenciales trigonométricas, elevadas a diferentes exponentes de cotangente y cosecante (exceptuando

∫ sec

2

x dx )  y se presentan

∫ csc

3

x dx ). ∫ sec

m

v dv .‐  Si m es “par”, se descompone

sec 2 v   en  secm−2 v   sec 2 v ,  indicando secm−2 v   como
2 una potencia de sec v y sustituyendo la identidad

Nota 1.- Los procedimientos para integrar diferenciales de la cotangente y cosecante a cualquier potencia son los mismos que los vistos en el tema anterior (VI-a.2). Entonces basta sustituir la cotangente en lugar de latangente y la cosecante en lugar de la secante. Nota 2.- En las integrales correspondientes a este tema casi siempre se tendrá que completar la diferencial (al menos con un signo), ya que la diferencial de la cotangente es negativa. Hallar:

sec 2 v = 1 + tan 2 v , se desarrolla y se integra.
Si m es “impar” diferente de 1, no se puede integrar por este procedimiento. b)

∫ tan

n

v dv .‐Si n es “impar”, se descompone

tan n v   en  tan n−1 v   tan v ,  indicando tan n−1 v   como
2 una potencia de tan v y sustituyendo la identidad

1)

tan 2 v = sec 2 v − 1 , se desarrolla y se integra.
Si n es “par”, se descompone

∫ csc

6

x dx 3

tan n v  en  tan n−2 v  

tan v , y se sustituye la identidad tan 2 v = sec 2 v − 1 , 
se desarrolla y se integra directamente...