funciones y graficas
Páginas: 19 (4679 palabras)
Publicado: 16 de mayo de 2013
CAPÍTULO
2
Funciones
1
2.6 Tipos de funciones
Definimos ahora algunos tipos de funciones que tienen comportamientos muy particulares y que
son importantes en el estudio del cálculo.
2.6.1 Funciones monótonas
Una función es monótona creciente si x1 < x2 .2 Df / ) f .x1 / < f .x2 /.
y
f .x2 /
f .x1 /
x
x1
x2
Al ir de izquierda a derecha, la gráfica de una funcióncreciente va de abajo hacia arriba.
Una función es monótona decreciente si x1 < x2 .2 Df / ) f .x1 / > f .x2 /.
1
canek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008
1
2
Cálculo Diferencial e Integral I
y
f .x1 /
f .x2 /
x
x1
x2
Al ir de izquierda a derecha, la gráfica de una función decreciente va de arriba hacia abajo.
Si x1 < x2 .2 Df / ) f .x1 / Ä f .x2 /, la función es monótona nodecreciente.
y
f .x2 /
f .x1 /
x
x1
x2
Al ir de izquierda a derecha, la gráfica de una función no decreciente no baja (donde es constante).
Si x1 < x2 .2 Df / ) f .x1 /
f .x2 /, la función es monótona no creciente.
y
f .x1 /
f .x2 /
x
x1
x2
Al ir de izquierda a derecha, la gráfica de una función no creciente no sube (donde es constante).
2
2.6 Tipos de funciones3
Una función es monótona por partes si se puede partir su dominio de manera que en cada una
de las partes la función sea monótona.
te
e
ent
reci
D ec
Crec
ie n
c
a
b
Crecien
te
y
d
x
Vemos que la función anterior es:
1. Creciente en . 1; a/.
6. No creciente en .b; d /.
2. No decreciente en . 1; b/.
7. Constante en .c; d /.
4. No creciente.a; c/.
8. No decreciente en .c; C1/.
5. Decreciente en .b; c/.
9. Creciente en .d; C1/.
3. Constante en .a; b/.
2.6.2 Funciones pares e impares
El dominio de una función f es simétrico con respecto al origen, cuando satisface:
x 2 Df )
x 2 Df :
Si suponemos que f cumple esta condición, entonces:
f es par si f . x/ D f .x/.
Recordemos que dos puntos son simétricosrespecto a una recta si éta es la mediatriz del segmento que ellos determinan.
A
¡
l
A
3
4
Cálculo Diferencial e Integral I
Los puntos A y A son simétricos con respecto al eje l. La recta l es la mediatriz del segmento
AA .
Que un conjunto de puntos sea simétrico con respecto a un punto (llamado centro de simetría)
quiere decir que está constituido por parejas de puntossimétricos con respecto a tal centro de
simetría.
La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y, es decir, está constituida por
parejas de puntos simétricos con respecto al eje y pues si una función es par y un punto .a; b/ 2
Gf , entonces otro punto de la gráfica de f es . a; b/.
Ejemplo 2.6.1 f .x/ D x 2 C 1 es par ya que f . x/ D . x/2 C 1 D x 2 C 1 D f .x/.
H
y
f .x/ D x 2C 1
f .a/ D f . a/
x
a
a
Si x D 2, entonces f .2/ D f . 2/ D 5.
Ejemplo 2.6.2 Las siguientes funciones son pares:
H
y
y
x
4
x
2.6 Tipos de funciones
f es impar si f . x/ D
5
f .x/.
La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen .0; 0/.
Si una función es impar y un punto .a; b/ 2 Gf , entonces otro punto de la gráfica de f es
. a; b/que es el simétrico de .a; b/ respecto al origen.
Ejemplo 2.6.3 f .x/ D x 3 es impar ya que f . x/ D . x/3 D x 3 D f .x/.
H
y
f .x/ D x 3
f .a/ D
f . a/
a
x
a
Si x D 3, entonces f . 3/ D . 3/3 D
27 D f .3/.
Ejemplo 2.6.4 Las siguientes funciones son impares:
H
y
y
x
x
5
6
Cálculo Diferencial e Integral I
2.6.3 Función lineal
Una función f eslineal si es de la forma f .x/ D mx C b con m & b 2 R .
Su dominio son todos los reales.
Su gráfica es una línea recta de pendiente m y ordenada en el origen b.
b
Si m ¤ 0, la única raíz de f .x/ D mx C b es x D
ya que
m
f .x/ D 0 , mx C b D 0 , x D
b
:
m
1. Si m D 0, diremos que f .x/ D b es constante, su rango consta de un solo número: f b g. Su
gráfica es una recta paralela al...
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Funciones
1
2.6 Tipos de funciones
Definimos ahora algunos tipos de funciones que tienen comportamientos muy particulares y que
son importantes en el estudio del cálculo.
2.6.1 Funciones monótonas
Una función es monótona creciente si x1 < x2 .2 Df / ) f .x1 / < f .x2 /.
y
f .x2 /
f .x1 /
x
x1
x2
Al ir de izquierda a derecha, la gráfica de una funcióncreciente va de abajo hacia arriba.
Una función es monótona decreciente si x1 < x2 .2 Df / ) f .x1 / > f .x2 /.
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canek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008
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2
Cálculo Diferencial e Integral I
y
f .x1 /
f .x2 /
x
x1
x2
Al ir de izquierda a derecha, la gráfica de una función decreciente va de arriba hacia abajo.
Si x1 < x2 .2 Df / ) f .x1 / Ä f .x2 /, la función es monótona nodecreciente.
y
f .x2 /
f .x1 /
x
x1
x2
Al ir de izquierda a derecha, la gráfica de una función no decreciente no baja (donde es constante).
Si x1 < x2 .2 Df / ) f .x1 /
f .x2 /, la función es monótona no creciente.
y
f .x1 /
f .x2 /
x
x1
x2
Al ir de izquierda a derecha, la gráfica de una función no creciente no sube (donde es constante).
2
2.6 Tipos de funciones3
Una función es monótona por partes si se puede partir su dominio de manera que en cada una
de las partes la función sea monótona.
te
e
ent
reci
D ec
Crec
ie n
c
a
b
Crecien
te
y
d
x
Vemos que la función anterior es:
1. Creciente en . 1; a/.
6. No creciente en .b; d /.
2. No decreciente en . 1; b/.
7. Constante en .c; d /.
4. No creciente.a; c/.
8. No decreciente en .c; C1/.
5. Decreciente en .b; c/.
9. Creciente en .d; C1/.
3. Constante en .a; b/.
2.6.2 Funciones pares e impares
El dominio de una función f es simétrico con respecto al origen, cuando satisface:
x 2 Df )
x 2 Df :
Si suponemos que f cumple esta condición, entonces:
f es par si f . x/ D f .x/.
Recordemos que dos puntos son simétricosrespecto a una recta si éta es la mediatriz del segmento que ellos determinan.
A
¡
l
A
3
4
Cálculo Diferencial e Integral I
Los puntos A y A son simétricos con respecto al eje l. La recta l es la mediatriz del segmento
AA .
Que un conjunto de puntos sea simétrico con respecto a un punto (llamado centro de simetría)
quiere decir que está constituido por parejas de puntossimétricos con respecto a tal centro de
simetría.
La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y, es decir, está constituida por
parejas de puntos simétricos con respecto al eje y pues si una función es par y un punto .a; b/ 2
Gf , entonces otro punto de la gráfica de f es . a; b/.
Ejemplo 2.6.1 f .x/ D x 2 C 1 es par ya que f . x/ D . x/2 C 1 D x 2 C 1 D f .x/.
H
y
f .x/ D x 2C 1
f .a/ D f . a/
x
a
a
Si x D 2, entonces f .2/ D f . 2/ D 5.
Ejemplo 2.6.2 Las siguientes funciones son pares:
H
y
y
x
4
x
2.6 Tipos de funciones
f es impar si f . x/ D
5
f .x/.
La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen .0; 0/.
Si una función es impar y un punto .a; b/ 2 Gf , entonces otro punto de la gráfica de f es
. a; b/que es el simétrico de .a; b/ respecto al origen.
Ejemplo 2.6.3 f .x/ D x 3 es impar ya que f . x/ D . x/3 D x 3 D f .x/.
H
y
f .x/ D x 3
f .a/ D
f . a/
a
x
a
Si x D 3, entonces f . 3/ D . 3/3 D
27 D f .3/.
Ejemplo 2.6.4 Las siguientes funciones son impares:
H
y
y
x
x
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Cálculo Diferencial e Integral I
2.6.3 Función lineal
Una función f eslineal si es de la forma f .x/ D mx C b con m & b 2 R .
Su dominio son todos los reales.
Su gráfica es una línea recta de pendiente m y ordenada en el origen b.
b
Si m ¤ 0, la única raíz de f .x/ D mx C b es x D
ya que
m
f .x/ D 0 , mx C b D 0 , x D
b
:
m
1. Si m D 0, diremos que f .x/ D b es constante, su rango consta de un solo número: f b g. Su
gráfica es una recta paralela al...
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