Funciones

Paridad de funciones
Una función f A --> B puede ser par, impar o ni una ni la otra.
Se dice que una funci¶on f(x) es par si y s¶olo si
f(x) = f(¡x) 8 x 2 Dom f
y se dice que f(x) es impar, si y s¶olo si
f(¡x) = ¡f(x); 8x 2 Dom f
Funciones pares
f(x) = x2, es un ejemplo de una función par.
Sea f(x) una función de valor real de una variable real. Entonces f es par si se satisface lasiguiente ecuación para todo x en el dominio de f.
Desde un punto de vista geométrico, una función par es simétrica con respecto al eje y, lo que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una reflexión sobre el eje y.
Ejemplos de funciones pares son el valor absoluto, x2, x4, cos(x), y cosh(x).
Funciones impares
f(x) = x3, es un ejemplo de una función impar.
Nuevamente, sea f(x) unafunción valor real de una variable real. Entonces f es impar si se satisface la siguiente ecuación para todo x en el dominio de f
Desde un punto de vista geométrico, una función impar posee una simetría rotacional con respecto al origen de coordenadas, lo que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una rotación de 180 grados alrededor del origen.
Ejemplos de funciones impares son x, x3,seno(x), sinh(x), y la erf (x).
CONTINUIDAD
En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.
La continuidadde funciones es uno de los conceptos principales de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.
Una función f es continua en un punto Xo en el dominio de la función
si: tal que para toda x en el dominio de la función:
Otra manera más simple:
Si xo es punto de acumulación del dominio de la función entonces f es continua en xo
si ysólo si . Cuando xo no es de acumulación del dominio, la función es continua en ese punto.
En el caso de aplicaciones de en , y de una manera más rigurosa se dice que una función f es continua en un punto x1 si existe f(x1), si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la derecha, si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la izquierda, y además ambos coinciden conf(x1).
parafraseando, cuando x se aproxima a x1, f(x) se aproxima a y1'. Por definición de los límites, esto significa que para todo intervalo abierto J, centrado en y1, existe un intervalo abierto I, centrado en x1, Si f ejecuta un salto en el punto, el teorema cae en falta. En efecto no todo intervalo I alrededor de x1 tiene su imagen en un intervalo J centrado en y1, con un radio inferior al saltode f, no importa lo pequeño que este intervalo sea, hay valores de x del intervalo I alrededor de x1 que tiene su imagen en un intervalo K centrado en y2, siendo y1 y y2 valores distintos, esto es: x tiene imágenes que se salen de J.
La ventaja de esta definición es que se generaliza a cualquier espacio topológico.
Continuidad lateral

Una función f es continua por la izquierda en el punto x= x1 si el límite lateral por la izquierda y el valor de la función en el punto son iguales.
Una función f es continua por la derecha en el punto x = x1 si su límite lateral por la derecha y el valor de la función en el punto son iguales.
Una función f es continua en un punto si es continua por la izquierda y es continua por la derecha.
Continuidad de una función en un intervalo {a;b}
Unafunción, f es continua en un intervalo I, si y solo si la función es continua en todos los puntos del intervalo, f es continua en un intervalo I ⇔
Dado que una función f es continua en un intervalo abierto (a, b) si la función es continua en todos los puntos del intervalo, entonces f es continua en el intervalo cerrado [a, b] si y solo si es continua en el intervalo (a, b) y además es continua...