Funciones

Matemáticas Bachillerato

Funciones Pares e Impares

FUNCIONES PARES E IMPARES 1. Función par Definición: Una función f se dice par si ∀x∈D(f ) se verifica: f(x) = f(–x) (o sea, si para cualquierx del dominio de la función, es decir, para todos los valores de x f(x) = f(–x) para los que existe imagen, la imagen de x y la de su opuesto –x coinciden). Si nos fijamos en el gráfico, estosignifica que la gráfica de la función pasa por los puntos (x, f(x)) y (–x, f(–x)), x –x que son simétricos respecto del eje OY. Y como esto sucede para todos los x del dominio de f, la gráfica de unafunción par resulta ser simétrica respecto OY. 2. Función impar Definición: Una función f se dice impar si ∀x∈D(f ) se verifica: –f(x) = f(–x). Analizando el gráfico descubrimos que la gráfica de la funciónpasa por los puntos (x, f(x)) y (–x, f(–x)), que son simétricos respecto del punto O. Y como esto sucede para todos los x del dominio de f, la gráfica de una función par resulta ser simétrica respectodel origen de coordenadas.

f(x)

–x

x f(–x) = –f(x)

3. Ejemplos La mayoría de las funciones ni son pares ni impares. Sin embargo, descubrir si una función, dada por su fórmula, es par,impar o ninguna de las dos cosas suele ser bastante fácil y, caso de ser par o impar, nos aporta bastante información sobre la gráfica, al tener ésta una simetría. Observemos los siguientes ejemplos:y=

x 4 − 3x 2 par 2

y = 3x3 – 2x impar

y = sen x impar

y=

3x 2 par 2x4 + 3

y = x3 impar

y = x2 – 4x + 3 ni par ni impar

IES V Centenario – Profesor R. Mohigefer

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Funciones Pares e Impares

Démonos cuenta de las simetrías de las funciones pares e impares, respecto de OY y de O, respectivamente. Nótese que la última función,al ser parábola, tiene una simetría respecto de su eje x = 2, pero no es par ni impar. Otros ejemplos de funciones conocidas: Son pares las funciones y = cos x, y = x2. Son impares y = 1/x, y = tg...