Funciones

Función Constante

Sea f: R →R, donde f(x) = c en la cual “c” es cualquier constante numerica de los reales.

Biyectividad

i) Inyectividad

Función f(x) = c no es inyectiva, ya que para cada cada valor del conjunto X le corresponde el mismo valor del conjunto Y.

ii) Epiyectividad

Función f(x) = c no es epiyectiva, ya que el Recorrido que es “c”, es distinto al Codominio que sontodos los reales.

Por lo tanto f(x) = c no es epiyectiva.

Paridad

i) Par

f(-x) = f(x)
c = c

Función f(x) = c es par.

ii) Impar

f(-x) = -f(x)
c ≠ - c

Función f(x) = c no es impar.

Simetría

* Es simetrica respecto al eje de las ordenadas, ya que es una función par.
* No tiene simetría respecto al origen, ya que no es una función impar.

Intersección

* Ejede las ordenadas: c
* Eje de las abscisas: no tiene intersección con el eje de las abcisas.

Crecimiento

* La función f(x) = c ni crece ni decrece.

Función Lineal

Sea f: R →R, donde f(x) = ax + b, en la cual “a” es la pendiente de la recta distinta de 0 y perteneciente a los reales, y “b” es el coeficiente de intersección perteneciente a los reales.

Biyectividad

i)Inyectividad

f(x1) = f(x2) => x1 = x2

<=> ax1 + b = ax2 + b
<=> ax1= ax2 / -2

=>x1 = x2 / *1a

Función f(x) = ax + b es inyectiva.

ii) Epiyectividad

Rec f(x) = Codom f(x)

R - {0} = R – {0}

Por lo tanto la función f(x) = ax + b es Biyectiva.

Paridad

i) Par

f(-x) = f(x)
-ax + b ≠ ax + b

Función f(x) = ax + b no es par.

Ii) Impar

f(-x) = -f(x)
-ax+ b ≠ -ax - b

Función f(x) = ax + b no es impar.

Simetría

* No es simétrica respecto al eje de las ordenadas.
* No es simétrica respecto al origen.

Intersección

* Eje de las ordenadas: b
* Eje de las abscisas:- ba

Crecimiento

* Creciente: si “a” es positiva.
* Decreciente: si “a” es negativa.

Función Cuadrática

Sea f: R →R, donde f(x) = ax2 + bx +c, en la cual a, b y c son constantes reales y “a” es distinto de 0.

Puntos relevantes

a = concavidad ( a >0 o a <0 )
c = intersección en el eje y.
Vértice = (x,y), donde x =(-b2a) e y = f (-b2a)
Puntos especiales = Máximo (vertice cuando a <0) y Mínimo (vértice cuando a >0)

Biyectividad

i) Inyectividad

Función ax2 + bx + c no es inyectiva, ya que existen infinitosvalores de imágenes con dos preimagenes.

ii) Epiyectiva

Función ax2 + bx + c no es epiyectiva, ya que su Rec f(x) es distinto al Codom f(x).

Por lo tanto f(x) = ax2 + bx + c no es Biyectiva.

Paridad

i) Par

f(-x) = f(x)
a(-x)2 + b(-x) + c = ax2 + bx + c
ax2 - bx + c ≠ ax2 + bx + c

f(x) = ax2 + bx + c no es par, pero si b = 0, es decir f(x) = ax2 + c

f(-x) = f(x)
a(-x)2 + c =ax2 + c
ax2 + c = ax2 + c

f(x) = ax2 + c es par, conclusión, cuando b = 0 la función siempre será par.

ii) Impar

f(-x) = -f(x)
a(-x)2 + b(-x) + c =- (ax2 + bx + c)
ax2 - bx + c ≠ -ax2 - bx - c

f(x) = ax2 + bx + c no es impar.

Simetría

* Es simétrica respecto al eje de las ordenadas.
* No es simétrica respecto al origen.

Intersección

* Eje de las ordenadas: c* Eje de las abscisas: x=-b±b2-4ac2a

Crecimiento

* Creciente : -∞, 0
* Decreciente: 0,∞

Función Valor Absoluto

Sea f: R →R, donde f(x) = lxl, en el cual lxl se define como valor absoluto.

Puntos relevantes

Punto de quiebre: lxl = 0 => x = 0 (valor absoluto se iguala a 0), luego se reemplaza dicho valor en la función para obtener y.
Ejemplo: f(x) = lxl + 2
x = 0f(x) = l0l +2
f(x) = 2
Punto de quiebre: (0,2)

Biyectividad

i) Inyectividad

f(x) = lxl no es inyectiva, ya que el número real es su valor númerico sin tomar en cuenta el signo, ejemplo: 5 es el valor absoluto de 5 y -5. Por lo tanto habrán imágenes con dos preimagenes.

ii) Epiyectividad

f(x) = lxl no es epiyectiva, ya que sólo puede tomar números de reales positivos más el 0, lo...