Funciones

RELACIONES Y FUNCIONES
[pic]Objetivo
Determinar el producto de dos conjuntos en el plano cartesiano y cuando se presente una relación entre estos dos conjuntos, identificar y explicar  cuándo la relación es reflexiva, transitiva o simétrica.
RELACIONES
Una relación se define como un subconjunto de un producto cartesiano.
Simbólicamente:
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A  conjunto de partida
B  conjunto de llegada.[pic]
Sean los conjuntos:    
A = (2, 4, 6)
B = (1, 2, 3)
A x B = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 1), (4, 2), (4,3), (6, 1), (6, 2), (6, 3)}
Un subconjunto  S que satisfaga  x > y  será:
S =  {(2, 1), (4, 1), (4, 2), (4,3), (6, 1), (6, 2), (6, 3)}
[pic]Relación inversa
Sean los conjuntos:    
A = (1, 2, 3, 4)          
B = (1, 2)
Definamos la relación, x es divisor de y.
Luego:    
R ={ ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 2 ) }
Gráficamente:
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Encontremos ahora  la relación S  de B en A dada  por  "y es múltiplo de x"
S = { ( 1 , 1 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) }
Gráficamente:
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[pic]Relación reflexiva
Sea  el conjunto   
A = {1, 2, 3}
Relacionar A  en A y escribir las parejas ordenadas:
R = { ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 3 ) }
Cada uno de los elementos de A  está  relacionado consigo mismo, es decir, cada pareja ordenada pertenece a la relación. Relaciones  con estas características reciben el nombre de reflexivas.
Simbólicamente se puede expresar como:
Para todo elemento:
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Diagrama sagital:
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[pic]Relación simétrica
Sea la relación  R = {(3, 4), (5, 6), (6, 5), (4, 3)} cada pareja ordenada de la relación tiene su recíproco, es decir,para  (3, 4) existe (4, 3), que también pertenece a R.
Cuando en una relación de x con y se deduce la relación y con x, se puede decir que la relación es simétrica, es decir:
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Gráficamente:
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[pic]Relación transitiva
Analicemos la siguiente relación
R = { ( 4 , 5 ) , ( 5 , 2 ) , ( 4 , 2 ) }
El elemento 5 se relaciona en la primera y segunda pareja ordenada y sirve para obtenerotra pareja ordenada con los elementos con los cuales se ha relacionado en la primera y segunda pareja ordenada. Cuando en una relación se presenta esta característica se puede decir que la relación es transitiva.
Simbólicamente:
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Gráficamente:
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[pic]Relación equivalente
Si una relación es al mismo tiempo reflexiva, simétrica y transitiva se puede decir que es equivalente. Un ejemplode relación equivalente puede ser: "b es paralelo a, a"
Gráficamente:
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Analizando la gráfica:
[pic]La recta  a se puede considerar paralela a sí misma, es decir, cumple con la propiedad para ser relación reflexiva.
 
[pic]Por definición la recta  a  es paralela a la recta  b, y viceversa, luego la relación en este aspecto es simétrica.
[pic]También se deduce que si  la recta  a  esparalela a la recta  b y a es paralela a otra recta  c, entonces b es paralela con la recta  c.
Esta es la condición para que se cumpla la relación transitiva.
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Si a es paralela a b, y b es paralela a c, entonces a es paralela a c.
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[pic]Analiza si la relación "ser perpendicular a" es una relación de equivalencia.
[pic]Dado el conjunto Q = { 10, 12, 13, 15 }, yla relación
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[pic]Realiza el conjunto de parejas ordenadas.
[pic]Construye el diagrama correspondiente.
[pic]Elabora el plano cartesiano.
[pic]Hallar el dominio y el codominio de la relación.
[pic][pic]Qué tipo de relación es[pic]
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FUNCIONES
Dos líneas se pueden cortar en forma perpendicular u oblicua. Cuando se cortan en forma perpendicular forman un eje de coordenadasrectangulares.
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Este eje de coordenadas llamado plano cartesiano, sirve para graficar un conjunto de parejas ordenadas  generadas por un producto cartesiano.
Para realizar la gráfica de una función en un plano cartesiano se procede así:
[pic]Se trazan los ejes de coordenadas x  y.
[pic]El dominio de la función se coloca sobre el eje de coordenadas  x.
[pic]El codominio de la función se coloca...