Funciones

funciones
clasificacion
Dados dos conjuntos X, Y, consideremos a todas las posibles aplicaciones (funciones) que pueden formarse entre estos dos conjuntos. Podemos diferenciar los siguientes casos:

• Si a cada imagen le corresponde una única preimagen, inyectiva.
• Si la imagen de la función es igual al codominio, sobreyectiva o suprayectiva.
• Una función que sea inyectiva ysobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva .
Puede haber funciones que sean biyectivas, inyectivas pero no suprayectivas, supreyectiva pero no inyectiva o que no se cumple ninguna de esas condiciones, en cuyo caso no tiene un nombre especifico.
'Definiciones alternas: sea dada y sea b un elemento cualquiera del codominio Y. Consideremos la ecuación
.
• la función es suprayectiva osobreyectiva si, y sólo si, la ecuación siempre tiene al menos una solución.
• la función es inyectiva si, y 'solo si, la ecuación (*) tiene a lo más una solución.
• la función es biyectiva cuando, y sólo cuando, es inyectiva y suprayectiva a la vez.

Vamos a ilustrar esos diferentes tipos de funciones (aplicaciones) en un Diagrama de Venn, el conjunto universal U, representado por un rectángulo, esel conjunto de todas las posibles aplicaciones, el conjunto A es aquel de las aplicaciones inyectivas, y el conjunto B aquel de las sobreyectivas, esto nos permite ver los distintos tipos de aplicaciones de un modo gráfico.

Resumen

Sobreyectiva, no inyectiva
Inyectiva, no sobreyectiva
Biyectiva
No sobreyectiva, no inyectiva

notacion

Al dominio también se le llama conjunto deentrada o conjunto inicial. Se denota por o . A los elementos del dominio se les llama habitualmente argumento de la función.
Al codominio, también llamado, conjunto de llegada, conjunto final o rango de f se le denota por
o codomf
Cabe señalar que el término rango es ambiguo en la literatura, ya que puede hacer referencia tanto al codominio como al conjunto imagen. Por ello, es aconsejableusar el término codominio.
Si x es un elemento del dominio al elemento del codominio asignado por la función y denotado por f(x) se le llama valor o imagen de la función f de x. Al subconjunto del codominio formado por todos los valores o imágenes se le llama imagen, alcance o recorrido de la función. Se denota por o o .

Una preimagen de un es algún tal que .
Note que puede haberalgunos elementos del codominio que no sean imagen de un elemento del dominio, pero que cada elemento del dominio es preimagen de al menos un elemento del codominio.
Ejemplos
• La función definida por , tiene como dominio, codominio e imagen a todos los números reales

Función con Dominio X y Rango Y
• Para la función tal que , en cambio, si bien su dominio y codominio son iguales a , sólotendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real.
• En la figura se puede apreciar una función , con


Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el 1 y el 4). Finalmente,

Esta función representada como relación, queda:
Igualdad defunciones
Sean las funciones f: A → B y g: C → D, decimos que f es igual a g y escribimos f=g si y sólo si se cumple que ambas funciones:
1. tienen igual dominio, A=C,
2. tienen igual codomino, B=D, y
3. tiene la misma asignación, es decir que para cada x se cumple que f(x)=g(x).
Representación de funciones
Las funciones se pueden presentar de distintas maneras:
• usando una relación matemáticadescrita mediante una expresión matemática: ecuaciones de la forma y = f(x). Cuando la relación es funcional, es decir satisface la segunda condición de la definición de función, se puede definir una función que se dice definida por la relación, A menos que se indique lo contrario, se supone en tales casos que el dominio es el mayor posible (respecto a inclusión) y que el codominio son todos...