Fundamentos de las matematicas

Epistemología de la Matemática
La Epistemología es el estudio filosófico de los orígenes , estructura, métodos y validez del conocimiento científico.

Nosotros vamos a estudiar los métodos que utiliza el matemático para estructurar esta disciplina y exponerla como conocimiento científico.

Los métodos de estructura a los que se refiere la epistemología no son los didácticos, pues losmétodos didácticos pertenecen a la pedagogía. En general, la estructura condiciona a la didáctica.

Estructura de la Matemática se basa en:

• Elementos :
a) Conceptos
b) Proposiciones
c) Relaciones
2. Procesos:
d) Conceptuación
e) Demostración

a) Concepto: es una clasificación de ciertas regularidades referidas a objetos, eventos o situaciones.

b) Proposición y relación: se obtienecuando se vinculan dos o más conceptos. Tanto las proposiciones como las relaciones se refieren a los conceptos.

d) Conceptuación: es un encadenamiento de conceptos.

e) Demostración: es un proceso de reducción entre proposiciones o relaciones que te permite pasar de una proposición a otra.

Lo esencial de la metodología de la matemática lo constituyen los procesos.

En lógica losconceptos son:

• Individuales: se refieren a objetos particulares.

• Genéricos: se refiere a un grupo de objetos que tienen ciertas propiedades en común. La colección de objetos a los que se puede aplicar el concepto genérico se llama la extensión del concepto. El conjunto de propiedades que determinan el concepto genérico se llama comprensión.

¿Cómo son los conceptos en matemática?Son abstractos, esto es, existen en la mente humana y se obtienen o resultan al considerar objetos, ya sean reales o pensados, desprovisto de su contenido, y estos conceptos sólo se refieren a ciertas relaciones. Por eso como consecuencia de esta abstracción, son genéricos no individuales. La extensión de los conceptos matemáticos es infinita, la compresión puede fijarse con precisión. Poreso, la conceptuación matemática es más simple y perfecta que en otras disciplinas.

Para que un conjunto de propiedades formen la compresión de un concepto matemático, éstas deben cumplir con dos requisitos:

• Existencia: debe probarse que hay un sistema de entes matemáticos que tengan esas propiedades.

• Unicidad: probar que ese sistema es único.

En general, hay dosformas de conceptuación:

• Conceptuación creadora: es aquella que introduce un concepto que amplía el campo de conceptos de la teoría.

• Conceptuación tautológica: es la que da un nombre a un concepto ya creado.

En matemática los tipos de conceptuaciones que se realizan son:

• Definición nominal explícita

• Definición por abstracción

• Definición porrecurrencia

• Sistema axiomático

Definiciones nominales explícitas: tienen por objeto introducir palabras nuevas para designar combinaciones lógicas de concepto ya definidos. El carácter nominal quiere decir que la definición se refiere a la palabra y representa una convención del lenguaje.

Una definición de este tipo constituye una convención, no una proposición, puesto que no esverdadera ni falsa. Estas son definiciones tautológicas. Ejemplo: definición de relación de equivalencia, conjunto vacío, vector nulo.

Definición por abstracción: este tipo de definición consiste en agrupar elementos de una clase en subclases según un determinado criterio y se consideran idénticos los elementos de cada subclase, o sea que se fija la atención en los caracteres comunes de loselementos de cada subclase. El conjunto de los caracteres comunes se considera la comprensión del nuevo concepto. Estas definiciones son creadoras porque permiten ampliar el campo de los conceptos matemáticos.

Ejemplo: definición de clase de equivalencia.

Definiciones por recurrencia: se llaman así porque utilizan el principio de inducción completa. Más que definiciones constituyen un método...