Fundamentos De Probabilidad

Fundamentos de Probabilidad.
2.1. Conjuntos y técnicas de conteo.

Espacio Muestral
Es el conjunto de todos los posibles resultados de interés de un experimento dado, y se le denota normalmente mediante la letra E.

Ejemplos:
Experimento: Se lanza una moneda.

Espacio muestral = total de formas en como puede caer la moneda, o sea dos formas de interés, que caiga sol o que caigaáguila. (Si cae de canto no es de interés y se repite el lanzamiento).
E= { s, a }

DEFINICION DE EVENTO

Evento. Cualquier característica observada del resultado de un experimento.

El evento es aleatorio si como resultado del experimento puede ocurrir o no ocurrir.
 
Los eventos pueden ser:
 
Evento Simple. Es aquel que tienen un solo punto muestral.
 Evento Compuesto. Son aquellos que tienen dos o más puntos muestrales.

Punto muestral Cada uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio.

* Ejemplo.
Lanzamiento de un dado, el espacio muestral es E= {1, 2, 3, 4, 5, 6 } y #E=6

los puntos muestrales son {1},{2},{3}, {4},{5},{6}

Al número de puntos muestrales de E se le representa por #E

Los eventos se denotannormalmente con las letras mayúsculas A, B, C, ...

A, B, C son subconjuntos de E, esto es,
A, B, C E

Los eventos son conjuntos que pueden contener un solo elemento, una infinidad de elementos, y también no contener ningún elemento.

Los Eventos aleatorios aparecen con gran frecuencia en el cálculo de probabilidades:

Evento seguro.- Se verifica después del experimento aleatorio, si losresultados son los mismos del espacio muestral.
E = A y #E = #A
Evento Imposible.- Es aquel que nunca se verifica como resultado del experimento aleatorio.
No tiene elementos de interés para su fenómeno.
Sin embargo es un subconjunto de E y la única posibilidad es que el evento imposible sea el conjunto vacío.
E y No tiene elementos

Ejemplo:
Experimento: Se lanza una monedatres veces.
Espacio Muestral:
E = { (S,S,S), (S,S,A), (S,A,S), (A,S,S), (A,A,S), (A,S,A), (S,A,A), (A,A,A) },
#E= 8, E es el evento seguro.

Evento simple:
B:Que salgan tres soles; B ={ (S,S,S) } , #B = 1

Evento compuesto:
E: Que salgan al menos dos soles;
E = { (S,S,S), (S,S,A), (S,A,S), (A,S,S) }, #E = 4

Conjunto potencia
Si un espacio muestral contiene n puntosmuestrales, hay un total de 2n subconjuntos o eventos
( se le conoce como conjunto potencia ).

Por tanto para el ejemplo anterior existen:
28 = 256, eventos posibles.

Para el caso del experimento: se tira una moneda,
el espacio muestral es de 2 puntos muestrales
E = {A, S},
por lo que se tienen 22 = 4 subconjuntos
y el conjunto potencia esta dado por: {A,S}, {A},{S},

Operaciones Básicas con Eventos Aleatorios

Ya que los eventos son subconjuntos del espacio muestral E, se pueden aplicar las conocidas operaciones con conjuntos, a los eventos, como son la unión, la intersección y la diferencia de eventos.

OPERACIÓN | EXPRESION | DESCRIPCION |
UNIO N | A B | Unión de eventos originales: es el evento que sucede si y solo si A sucede o Bsucede o ambos suceden |
INTERSECCION | A B | Intersección de los eventos originales, es el evento que sucede si y sólo si A y B suceden simultáneamente. |
DIFERENCIA | A - B | La diferencia de los eventos originales A y B, es el evento que sucede solo en A pero no en B. |

Gráficamente estas operaciones se pueden representar a través de los diagramas de Venn.
Sea E el espaciomuestral y A y B eventos tal que A, B E gráficamente se puede expresar como:

Fig. 1 Los eventos A y B no tienen elementos del espacio muestral en común.

De acuerdo a lo indicado en las figuras 1 y 2, la unión de dos eventos se presenta de dos formas diferentes:

1. cuando los eventos son mutuamente excluyentes (que no tienen elementos en común)
2. cuando entre los eventos...