Funiones

DEBER DE MATEMATICAS

FUNCION EXPONENCIAL

Sea [pic] un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia [pic] se llama función exponencial de base a y exponente x. 

Como [pic] para todo [pic][pic],la función exponencial es una función de [pic] en [pic]. 

En el siguiente teorema, se presentan las propiedades más importantes de la funciónexponencial. 

LEYES DE LOS EXPONENTES

Sean a y b reales positivos y x,y∈ℜ  ,entonces: 

1. [pic][pic] 
2. [pic] 
3. [pic] 
4. [pic] 
5. [pic] . 
6 .[pic] 

Cuando a > 1 ,si x < y, entonces, [pic] .Es decir, cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial 
de base a es estrictamente creciente en su dominio. 

Cuando 0 < a < 1, si x < y , entonces, [pic] . 

Esto significa que lafunción exponencial de base a < 1 es estrictamente decreciente en 

su dominio. 

[pic]. 

10.Si 0< a < b ,se tiene: 

[pic] 
[pic]. 

Esta propiedad permite comparar funciones exponenciales de diferentes bases. 

11. Cualquiera que sea el número real positivo [pic][pic],existe un único número real[pic] tal que 
[pic]. Esta propiedad indica que la función exponencial essobreyectiva. 

Cuando x e y son enteros, los propiedades enunciadas anteriormente pueden demostrarse usando las definiciones y el teorema 1. Para el caso en el cual x e y son racionales, la demostración utiliza la definición y el teorema 2. Para el caso general, es decir, cuando x e y son reales, la demostración utiliza elementos del análisis real. 
 
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL 

En relación conlas propiedades 7 y 8, enunciadas en el teorema, es conveniente hacer algunos comentarios adicionales.
En primer lugar, en las figuras 1 y 2, aparecen las gráficas de algunas funciones exponenciales de base a > 1 y de base a< 1

Note que cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial [pic]no está acotada superiormente. Es decir , [pic] crece sin límite al aumentar la variable x.Además, ésta función tiene al cero como extremo inferior. Esto es , [pic] tiende a cero(0), cuando x toma valores grandes pero negativos. 

Igualmente, cuando la base a < 1, la función exponencial [pic] no está acotada superiormente, pero su comportamiento para valores grandes de x, en valor absoluto, es diferente. Así, [pic] crece sin límite, al tomar x valores grandes, pero negativos y [pic] tiende acero, cuando la variable x toma valores grandes positivos. 

El hecho de ser la función exponencial [pic]con a > 1, estrictamente creciente (estrictamente decreciente cuando 0 < a < 1), significa que la función exponencial es inyectiva en su dominio.Este hecho y la continuidad de la función son las condiciones que se exigen para garantizar la existencia de la función inversa ( funciónlogarítmica), que se presentan en la próxima sección. 

En relación con la propiedad 9, en un sentido, se deduce fácilmente de la definición de función; y, en otro, del hecho de ser la función exponencial inyectiva. 

FUNCION LOGARITMICA

Sea a un real positivo fijo,[pic] y sea x cualquier real positivo, entonces:

[pic]

La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo enbase [pic] , 

denotada por [pic] ,se llama: función logarítmica de base a, y, el número [pic] se llama logaritmo de x en la base a. 

La definición anterior, muchas veces, se expresa diciendo que :el logaritmo de un número, en una base dada ,es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número. 

En el teorema siguiente, se presentan las propiedades más importantes de loslogaritmos. 

PROPIEDADES DE LOS LOGARÍTMOS

Si a > 0, y b es cualquier real positivo, x e y reales positivos, entonces : 

[pic]. 

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic][pic]. 

Cuando a > 1 , si 0 < x < y , entonces, [pic] .Es decir ,la función logarítmica de base a > 1 es estrictamente creciente en su dominio. 
Cuando 0 < a < 1, si 0 < x < y ,entonces, [pic] .Esto es la...