Fórmulas Movimiento Armónico Simple

Moviments periòdics:
Tenen una sèrie de magnituds comuns:
Pulsació o freqüència angular ω (rad/s o s-1 )
Freqüència ν (hz o s-1)
Període τ (s) Angle desfassament φ0

Relacions

ω = 2πν =

2π

τ

ν=

1

τ

Moviment Vibratori Harmònic Simple (MVHS) és el que resulta de la
projecció d’un MCU sobre un diàmetre.
Causa: Les forces elàstiques (Llei de Hooke F=-kx)
Definició :l’acceleració s’oposa en tot moment al desplaçament a = −ω 2 x
Relació entre constant elàstica i freqüència angular:
F = ma = − mω 2 x = −kx → k = mω 2
Equacions de moviment:
Posició en funció del temps: x = A cos(ωt + ϕ 0 ) o bé ( i segons les condicions inicials )
també es pot posar com x = A sin(ωt ) si en t=0 x=0
Velocitat en funció del temps:
Si x = A cos(ωt + ϕ 0 ) aleshores v = − A ω sin(ω t + ϕ 0 )
Si x = A sin(ωt + ϕ 0 ) aleshores v = A ω cos( ω t + ϕ 0 )
Acceleració en funció del temps:
Si x = A cos(ωt + ϕ 0 ) aleshores a = − Aω 2 cos( ωt + ϕ 0 )
Si x = A sin(ωt + ϕ 0 ) aleshores a = − Aω 2 sin( ωt + ϕ 0 )
Velocitat en funció de la posició: v = ω A 2 − x 2
Acceleració en funció de la posició: a = −ω 2 x
Energia: Energia cinètica màxima: Ec màx=½m(Aω)2
Energia cinètica enun punt Ec =½mv2=½m(Aωsen(ωt))2=½mω2(A2-x2)
Energia potencial màxima Ep màx=½kA2
Energia potencial en un punt Ep =½kx2=½k(Acos(ωt))2=½mω2(Acos(ωt))2 =½mω2x2
Energia mecànica = Ec + Ep=½mω2(A2-x2)+ ½mω2x2=½mω2A2=½kA2

Moviment ondulatori:

Equació d’una ona harmònica: x = A cos(ωt − kx) Segons les condicions inicials podem
tindre, a més de l’anterior: x = A cos(ωt + kx) ; x = A sin(ωt +kx) ; x = A sin(kx − ωt )
També poden dur un angle de desfasament φ0 i així x=Acos(ωt – kx + φ0)
2π
2π
ω = 2πν =
k=
(número d’ones)

τ

λ

La fórmula de l’ona es pot escriure com: x = A cos 2π (

t

τ

−

x

λ

x
) o x = A cos 2π (ν ·t − )

velocitat de propagació : Es propaga amb velocitat constant igual a: v = λν =

ω

λ

k
Fase d’un moviment ondulatori: És elcontingut de la funció trigonomètrica: ϕ = ωt − kx
Diferència de fase: Es la diferència entre les fases de dos punts: ∆ϕ = ω∆t − k ( x 2 − x1 )

Si estem en el mateix temps en distintes posicions: ∆ϕ = k ( x1 − x 2 ) =k·d
i en la
mateixa posició en instants diferents: ∆ϕ = ω∆t
Interferències: Quan dues ones arriben al mateix punt, les seues funcions d’ona es
sumen. El resultat és una nova onai el fenomen rep el nom d’interferència.
En el cas que les dues ones es produesquen amb la mateixa amplitud i fase, podem tenir
interferència constructiva si ∆ϕ = k ( x1 − x 2 ) = 2nπ ⇒ x1 − x 2 = nλ i tindrem una
interferència destructiva quan ∆ϕ = k ( x1 − x 2 ) = (2n + 1)π ⇒ x1 − x 2 = (2n + 1)

λ

2

Ones estacionàries:
Equació d’una ona estacionària: x = 2 A cos(ωt ) cos(kx) segonsles condicions inicials
els dos cosinus, o un d’ells pot ser un sinus, o els dos sinus.
Condicions per una ona estacionària:
En una vareta o corda solta pels dos costats, o enganxada pels dos costats, o en un tub
obert pels dos costats o tancat pels dos costats: L = n

λ

2
En una vareta o corda subjecta per un costat i solta per l’altre, o en un tub obert per un
2n + 1
λ
costat itancat per l’altre: L =
4
La longitud d’ona depèn exclusivament de les característiques físiques (geomètriques)
de l’element on es forma l’ona estacionària. La freqüència depèn de la longitud d’ona i
de la velocitat de propagació de l’ona.

Intensitat d’una ona: I =

Energia
Potència
=
superfície·temps Superfície

En una ona que es transmet per un fil, o en una ona plana, la intensitatroman constant
en tots els punts (sempre que no hi haja absorció)
En una ona circular la intensitat és proporcionalment a la inversa de la distància al
centre de pertorbació. En dos punts tindríem

A2 r
I 1 r2
=
o també 1 = 2
r1
I 2 r1
A2
2

En una ona esfèrica la intensitat és proporcionalment a la inversa del quadrat de la
I
r2
distància al centre de pertorbació. En dos...