garcia moreno

 CONDICIONES DE FRONTERA PARA LOS CAMPOS ELECTRICOS.
Ahora que ya se conoce el tratamiento del campo eléctrico en medios materiales, resulta necesario establecer el comportamiento del campo eléctrico 
y del vector desplazamiento eléctrico 
en puntos próximos a una superficie que separa dos medios dieléctricos distintos.
Sean ambos medios definidos por sus permitividades eléctricas 1 y2, o bien, en términos de sus constantes dieléctricas K1 y K2. En el medio 1 está definido un campo eléctrico 
y un vector desplazamiento dieléctrico 
, y que se relacionan linealmente según 
; similar situación se observa en el medio dieléctrico 2, con 
. Para establecer el comportamiento de estos campos, se utiliza la ley de Gauss( 
) y la expresión de la circulación del campo eléctrico alo largo de una curva cerrada( 
).
Con el empleo de la ley de Gauss se obtiene información acerca de la componente normal de los campos; en efecto, si se elige como superficie gaussiana un cilindro con su eje perpendicular a la superficie interfacial ( ver figura 3.5) y cuyo manto tiene una longitud infinitamente pequeña, entonces sólo existirá flujo a través de las tapas del cilindro gaussiana;si son los respectivos versores áreas de las tapas, se tiene que:

donde las áreas de la tapas y el área de la carga encerrada por la gaussiana son iguales, y por lo tanto,

(3.13)
y se concluye que la componente normal del vector desplazamiento eléctrico es discontinua en la frontera. Ahora bien, si en la superficie interfacial no existe carga eléctrica libre( 
) , entonces:

(3.14)
yse observa entonces una continuidad de la componente normal del vector desplazamiento eléctrico. A su vez, la componente normal del campo eléctrico satisface la siguiente relación:

Para averiguar el comportamiento de la componente tangencial, se elige como curva de circulación un rectángulo con aristas paralelas al superficie interfacial( ver figura 3.6), y con las aristas perpendiculares a lasuperficie infinitamente pequeñas, de modo tal que no haya contribución a la circulación del campo eléctrico en esos tramos; entonces,

y como el tramo de integración es el mismo y no nulo, se tiene que,

(3.15)
es decir, la componente tangencial del campo eléctrico es continua al pasar del medio dieléctrico 1 al medio dieléctrico 2. En consecuencia, la componente tangencial del vectordesplazamiento eléctrico satisface la siguiente relación:

EJEMPLO 3.1. Una esfera conductora de radio 3R, centrada en el origen del sistema de referencia, está rodeada de un dieléctrico de permitividad  y que se extiende hasta el infinito. Se sabe que el potencial eléctrico en el punto P de coordenadas 
vale 
. Determine:
 La carga sobre la esfera conductora.
 La densidad de carga depolarización en r = 3R.
SOLUCION: a) Dado que el punto P está a una distancia radial r " 0,42R del centro de la esfera conductora, se tiene entonces que,

siendo 
Se necesita conocer el campo eléctrico en la región exterior a la esfera conductora. Como es una región de dieléctrico, se aplica la ley de Gauss para dieléctricos tomando como superficie gaussiana una esfera concéntrica de radio r,entonces:

donde 
es la superficie de la gaussiana y Q es la carga de la esfera conductora. Por lo tanto, de la relación 
se obtiene la función campo eléctrico en la región requerida,

se reemplaza en la expresión del potencial eléctrico,

y resolviendo la integral se tiene,

 De la relación (3.4) se deduce que 
, dado que el vector polarización es normal a la superficie esférica deradio 3R. Pero, además, 
, con lo cual se obtiene:

e introduciendo el valor de la carga Q da finalmente,

EJEMPLO 3.2. Un cilindro hueco, de radio interno R y externo 3R, infinitamente largo, tiene una carga distribuida con densidad volumétrica 
, con  una constante conocida. Coaxialmente se coloca un cilindro dieléctrico de constante dieléctrica 
, infinitamente largo, de radios 3R y 6R....