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 ¿Hasta qué valor del ángulo, el periodo cumplirá con las condiciones de un péndulo simple? Explicar matemáticamente

Hasta aproximadamente 12° el periodo cumplirá conlas condiciones de péndulo simple alcanzando precisiones hasta de un 99 %.
Como   12° la longitud de arco tomaría la forma de línea recta y cumple con las ecuaciones de un M.A.S.(movimiento armónico simple). Podremos escribir, teniendo en cuenta el valor del seno del ángulo:Se observa que la fuerza recuperadora, que hace oscilar al péndulo, está en función de la elongación (X), con lo que podemos afirmar que se trata de un M. A. S. Por ello, podemos compararla ecuación que caracteriza a este tipo de movimientos, que vemos a continuación:

F= -mW2 x, con la ecuación obtenida anteriormente F = - mg xL
Vemos que la pulsación es: W2 = g / L, y teniendo en cuenta que W = 2 /T donde T es el período (Tiempo utilizado en realizar una oscilacióncompleta), llegamos a:



























¿Por qué es necesario que la amplitud de oscilación para cada longitud es siempre menor que un décimo de longitud usada?Solución:

Aplicando el teorema de Pitágoras en el grafico

Deducimos que:

Tomando un ángulo igual o menor que 12º, la Amplitud deoscilación (A) siempre será menor que la longitud del péndulo usada (L).

Ya que a mayor longitud de péndulo mayor será la curvatura de la oscilación y por lo tanto menor será la cantidad de oscilacionesen un intervalo de tiempo, entonces la longitud del péndulo determina el periodo, siempre y cuando el arco de oscilación sea menor de 12° para que el periodo no dependa del ángulo.

Además...