Gauss seidel-jacobi-minimogrado-eliminacion

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA
ÁREA DE INGENIERÍA
CARRERA INGENIERÍA DE SISTEMAS

TRABAJO PRÁCTICO

ASIGNATURA: Grafos y Matrices

CÓDIGO: 332

APELLIDOS Y NOMBRES: GERARDO RIGUAL
CÉDULA DE IDENTIDAD:
CENTRO LOCAL: CARABOBO
CÓDIGO DEL CENTRO LOCAL: 07

CARRERA: Ingeniería de Sistemas

CÓDIGO DE LA CARRERA: 236

CORREO ELECTRÓNICO: gerardocompras@yahoo.es

LAPSO: 2010-01OBJETIVO 6

1. Dado el Siguiente Sistema de Ecuaciones Lineales :

8x1 + x2 + 3x3 + 1x4 = 28

X1 + 4x2 + x3 + x4 = 30

X1 + 2x2 + 5x3 + x4 = 22

X1 + 3x2 + x3 + 6x4 = 39


Y analizando los métodos de Jacobi y Gauss – Seidel (métodos que parten de un punto inicial para obtener una sucesión de puntos que convergen a la solución exacta)realice lo siguiente:

a. Una breve explicación de los algoritmos de Jacobi y Gauss – Seidel.

En forma general podemos decir que ambos son métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El Método De Jacobi es Conocido Como El Método De Las Iteraciones Simultáneas.
MÉTODO DE JACOBI
En la iteración de Jacobi, se escoge una matriz Q que es diagonal y cuyos elementosdiagonales son los mismos que los de la matriz A. La matriz Q toma la forma:

y la ecuación general (63) se puede escribir como
 
Qx(k) = (Q-A)x(k-1) + b | (65) |

Si denominamos R a la matriz A-Q:

la ecuación (65) se puede reescribir como:
Qx(k) = -Rx(k-1) + b

El producto de la matriz Q por el vector columna x(k) será un vector columna. De modo análogo, el producto de la matriz R porel vector columna x(k-1) será también un vector columna. La expresión anterior, que es una ecuación vectorial, se puede expresar por necuaciones escalares (una para cada componente del vector). De este modo, podemos escribir, para un elemento i cualquiera y teniendo en cuenta que se trata de un producto matriz-vector:

Si tenemos en cuenta que en la matriz Q todos los elementos fuera de ladiagonal son cero, en el primer miembro el único término no nulo del sumatorio es el que contiene el elemento diagonal qii, que es precisamente aii. Más aún, los elementos de la diagonal de Rson cero, por lo que podemos eliminar el término i=j en el sumatorio del segundo miembro. De acuerdo con lo dicho, la expresión anterior se puede reescribir como:

de donde despejando xi(k) obtenemos:

quees la expresión que nos proporciona las nuevas componentes del vector x(k) en función de vector anterior x(k-1) en la iteración de Jacobi. En la figura (14) se presenta un algoritmo para el método de Jacobi.

  
Figure: Implementación del método de Jacobi. |
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El método de Jacobi se basa en escribir el sistema de ecuaciones en la forma:
  | (66) |

Partimos de una aproximacióninicial para las soluciones al sistema de ecuaciones y sustituimos estos valores en la ecuación (66). De esta forma, se genera una nueva aproximación a la solución del sistema, que en determinadas condiciones, es mejor que la aproximación inicial. Esta nueva aproximación se puede sustituir de nuevo en la parte derecha de la ecuación (66) y así sucesivamente hasta obtener la convergencia.

MÉTODO DEGAUSS-SEIDEL El método de Gauss-Seidel es un método iterativo y por lo mismo resulta ser bastante eficiente. Se comienza planteando el sistema de ecuaciones con el que se va a trabajar:

De la ecuación 1 despejar x1, de la ecuación 2 despejar x2, …, de la ecuación ndespejar xn. Esto da el siguiente conjunto de ecuaciones:

Este último conjunto de ecuaciones son las que forman las fórmulasiterativas con las que se va a estar trabajando. Para comenzar el proceso iterativo, se le da el valor de cero a las variables x2,…, xn; esto dará un primer valor para x1. Más precisamente, se tiene que:

Enseguida, se sustituye este valor de x1 en la ecuación 2, y las variables x3,…, xn siguen teniendo el valor de cero. Esto da el siguiente valor para x2:

Estos últimos valores de x1 y x2,...