Gauss Seidel
Páginas: 5 (1065 palabras)
Publicado: 29 de octubre de 2015
An´alisis num´erico
3.
4
Criterio de convergencia
El m´etodo de J´
acobi es susceptible de los efectos del pivoteo. En consecuencia, su criterio de convergencia lo conforman los criterios de la diagonal pesada, mismo que posee dos condiciones:
1. Condici´
on necesaria: Es condici´
on necesaria que el elemento ubicado en la diagonal principal
de cada ecuaci´
on sea mayor en valor absoluto queel resto de los elementos de la misma
ecuaci´on.
|aii | > |aij |
(11)
2. Condici´
on suficiente: Es condici´
on suficiente que el elemento ubicado en la diagonal principal
de cada ecuaci´
on sea mayor en valor absoluto que la suma del resto de los elementos de la
misma ecuaci´
on.
|aii | >
|aij |
(12)
4.
M´
etodo de Gauss-Seidel
Este m´etodo es una versi´
on acelerada del m´etodo de J´acobi. Enel m´etodo de J´acobi es necesario
contar con un vector aproximado completo para proceder a la sustituci´on en las ecuaciones de
recurrencia y obtener una nueva aproximaci´on.
En el m´etodo de Gauss-Seidel se propone ir sustituyendo los nuevos valores de la aproximaci´
on
siguiente conforme se vayan obteniendo sin esperar a tener un vector completo. De esta forma se
acelera la convergencia.
Apartir de las ecuaciones de recurrencia del m´etodo de J´acobi (8):
(k)
(k+1)
=
(k+1)
=
(k+1)
=
X1
X2
X3
b1 −(a12 X (k2 ) +a13 X3 +...+a1n X (kn ))
a11
(k+1)
b2 −(a21 X2
(k+1)
b3 −(a31 X2
..
.
(k+1)
Xn
5.
(k)
+a23 X3 +...+a2n X (kn ))
a22
(k+1)
+a32 X3
a33
+...+a3n X (kn ) )
(13)
..
.
(k+1)
=
bn −(an1 X2
(k+1)
+an2 X3
ann
(k+1)
+...+ann−1 Xn−1 )
Criterio de convergenciaEl criterio de convergencia del m´etodo de Gauss-Seidel corresponde totalmente al criterio de la
diagonal pesada cuyas condiciones se expresan en las ecuaciones 11 y 12.
An´alisis num´erico
6.
5
Ejemplo de aplicaci´
on
Sea el sistema de ecuaciones lineales [1]:
10X1 +X2 +2X3 = 3
4X1 +6X2 −X3 = 9
−2X1 +3X2 +8X3 = 51
(14)
Antes de proceder en la soluci´
on respectiva, se observa que loselementos ubicados en la diagonal
principal cumplen satisfactoriamente con el criterio de convergencia o diagonal pesada. Dado lo
anterior, se resolver´
a el sistema utilizando ambos m´etodos para contrastar su uso. Iniciando por el
m´etodo de J´
acobi. Las ecuaciones de recurrencia son:
(k)
(k)
(k+1)
=
3−X2 −2X3
10
(k+1)
=
9−4X1 +X3
6
(k+1)
=
51+2X1 −3X2
8
X1
X2
X3
(k)
(k)
(k)
(15)(k)
La primera iteraci´
on k = 1 es:
¯ (1) =
X
3
10
9
6
51
8
¯ (1)
X
0,3
= 1,5
6,375
(16)
La segunda iteraci´
on k = 2 se obtiene sustituyendo al vector X 1 (16) en las ecuaciones de recurrencia
15.
(2)
X1 = 3−(1,5)−2(6,375)
10
(2)
=
9−4·(0,3)+6,375
6
(2)
=
51+2·(0,3)−3·(1,5)
8
X2
X3
¯ (2)
X
−1,125
= 2,3625
5,8875
(17)
Las sucesivas iteraciones semuestran en los cuadros 1 y 2. Las tolerancias son calculadas con la
ecuaci´on 10: Se dice entonces que despu´es de trece iteraciones, con una tolerancia = 0,000007, el
vector soluci´
on es:
−1,00000
¯ (12) = 2,99998
X
(18)
5,00004
Ahora se realizar´
a la soluci´
on atendiendo la mejora en el m´etodo Gauss-Seidel. Las ecuaciones de
An´alisis num´erico
6
Cuadro 1: Iteraciones 0 a 6 porel m´etodo de J´acobi
Iteraci´
on
X1 =
X2 =
X3 =
Tolerancia
X (0)
0.30000
1.50000
6.37500
X (1)
-1.12500
2.36250
5.88750
1.73557
X (2)
-1.11375
3.23125
5.20781
1.10310
X (3)
-1.06469
3.11047
4.88484
0.34829
X (4)
-0.98802
3.02393
4.94240
0.12915
X (5)
-0.99087
2.98241
4.99402
0.06631
X (6)
-0.99705
2.99292
5.00888
0.01922
Cuadro 2: Iteraciones 7 a 12 en el m´etodo de J´acobi
Iteraci´
on
X1=
X2 =
X3 =
Tolerancia
X (7)
-1.00107
2.99951
5.00339
0.00947
X (8)
-1.00063
3.00128
4.99992
0.00392
X (9)
-1.00011
3.00041
4.99936
0.00116
X (10)
-0.99991
2.99997
4.99982
0.00066
recurencia son:
=
(k+1)
=
X2
(k+1)
X3
La iteraci´on
X (1)
(k)
(k+1)
X1
X (12)
-1.00000
2.99998
5.00004
0.000007
(k)
3−X2 −2X3
10
(k+1)
9−4X1
(k)
+X3
(19)
6
(k+1)
=
X (11)
-0.99996
2.99991...
3.
4
Criterio de convergencia
El m´etodo de J´
acobi es susceptible de los efectos del pivoteo. En consecuencia, su criterio de convergencia lo conforman los criterios de la diagonal pesada, mismo que posee dos condiciones:
1. Condici´
on necesaria: Es condici´
on necesaria que el elemento ubicado en la diagonal principal
de cada ecuaci´
on sea mayor en valor absoluto queel resto de los elementos de la misma
ecuaci´on.
|aii | > |aij |
(11)
2. Condici´
on suficiente: Es condici´
on suficiente que el elemento ubicado en la diagonal principal
de cada ecuaci´
on sea mayor en valor absoluto que la suma del resto de los elementos de la
misma ecuaci´
on.
|aii | >
|aij |
(12)
4.
M´
etodo de Gauss-Seidel
Este m´etodo es una versi´
on acelerada del m´etodo de J´acobi. Enel m´etodo de J´acobi es necesario
contar con un vector aproximado completo para proceder a la sustituci´on en las ecuaciones de
recurrencia y obtener una nueva aproximaci´on.
En el m´etodo de Gauss-Seidel se propone ir sustituyendo los nuevos valores de la aproximaci´
on
siguiente conforme se vayan obteniendo sin esperar a tener un vector completo. De esta forma se
acelera la convergencia.
Apartir de las ecuaciones de recurrencia del m´etodo de J´acobi (8):
(k)
(k+1)
=
(k+1)
=
(k+1)
=
X1
X2
X3
b1 −(a12 X (k2 ) +a13 X3 +...+a1n X (kn ))
a11
(k+1)
b2 −(a21 X2
(k+1)
b3 −(a31 X2
..
.
(k+1)
Xn
5.
(k)
+a23 X3 +...+a2n X (kn ))
a22
(k+1)
+a32 X3
a33
+...+a3n X (kn ) )
(13)
..
.
(k+1)
=
bn −(an1 X2
(k+1)
+an2 X3
ann
(k+1)
+...+ann−1 Xn−1 )
Criterio de convergenciaEl criterio de convergencia del m´etodo de Gauss-Seidel corresponde totalmente al criterio de la
diagonal pesada cuyas condiciones se expresan en las ecuaciones 11 y 12.
An´alisis num´erico
6.
5
Ejemplo de aplicaci´
on
Sea el sistema de ecuaciones lineales [1]:
10X1 +X2 +2X3 = 3
4X1 +6X2 −X3 = 9
−2X1 +3X2 +8X3 = 51
(14)
Antes de proceder en la soluci´
on respectiva, se observa que loselementos ubicados en la diagonal
principal cumplen satisfactoriamente con el criterio de convergencia o diagonal pesada. Dado lo
anterior, se resolver´
a el sistema utilizando ambos m´etodos para contrastar su uso. Iniciando por el
m´etodo de J´
acobi. Las ecuaciones de recurrencia son:
(k)
(k)
(k+1)
=
3−X2 −2X3
10
(k+1)
=
9−4X1 +X3
6
(k+1)
=
51+2X1 −3X2
8
X1
X2
X3
(k)
(k)
(k)
(15)(k)
La primera iteraci´
on k = 1 es:
¯ (1) =
X
3
10
9
6
51
8
¯ (1)
X
0,3
= 1,5
6,375
(16)
La segunda iteraci´
on k = 2 se obtiene sustituyendo al vector X 1 (16) en las ecuaciones de recurrencia
15.
(2)
X1 = 3−(1,5)−2(6,375)
10
(2)
=
9−4·(0,3)+6,375
6
(2)
=
51+2·(0,3)−3·(1,5)
8
X2
X3
¯ (2)
X
−1,125
= 2,3625
5,8875
(17)
Las sucesivas iteraciones semuestran en los cuadros 1 y 2. Las tolerancias son calculadas con la
ecuaci´on 10: Se dice entonces que despu´es de trece iteraciones, con una tolerancia = 0,000007, el
vector soluci´
on es:
−1,00000
¯ (12) = 2,99998
X
(18)
5,00004
Ahora se realizar´
a la soluci´
on atendiendo la mejora en el m´etodo Gauss-Seidel. Las ecuaciones de
An´alisis num´erico
6
Cuadro 1: Iteraciones 0 a 6 porel m´etodo de J´acobi
Iteraci´
on
X1 =
X2 =
X3 =
Tolerancia
X (0)
0.30000
1.50000
6.37500
X (1)
-1.12500
2.36250
5.88750
1.73557
X (2)
-1.11375
3.23125
5.20781
1.10310
X (3)
-1.06469
3.11047
4.88484
0.34829
X (4)
-0.98802
3.02393
4.94240
0.12915
X (5)
-0.99087
2.98241
4.99402
0.06631
X (6)
-0.99705
2.99292
5.00888
0.01922
Cuadro 2: Iteraciones 7 a 12 en el m´etodo de J´acobi
Iteraci´
on
X1=
X2 =
X3 =
Tolerancia
X (7)
-1.00107
2.99951
5.00339
0.00947
X (8)
-1.00063
3.00128
4.99992
0.00392
X (9)
-1.00011
3.00041
4.99936
0.00116
X (10)
-0.99991
2.99997
4.99982
0.00066
recurencia son:
=
(k+1)
=
X2
(k+1)
X3
La iteraci´on
X (1)
(k)
(k+1)
X1
X (12)
-1.00000
2.99998
5.00004
0.000007
(k)
3−X2 −2X3
10
(k+1)
9−4X1
(k)
+X3
(19)
6
(k+1)
=
X (11)
-0.99996
2.99991...
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