Ejemplos SEAL Jacobi Gauss Seidel

MATEMÁTICA SUPERIOR APLICADA
SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES

Ejemplos de Resolución de SEAL mediante Métodos Iterativos

Método de Jacobi
Resolver el siguiente sistema:
4x1 x2

2

 x1  4x2  x3  6

(1)

 x2  4x3  2
Despejando x1de la primera ecuación, x2 de la segunda y x3 de la tercera, se tiene:
x1  0.50  0.25x2
x2  1.50  0.25x1  0.25x3

(2)

x3  0.50 0.25x2
O sea,
x1

k  1
k  1

 0.50  0.25x2

k

x2

 1.50  0.25x1   0.25x3

x3

 0.50  0.25x2

k  1

k

k

(3)

k

Considérese como aproximación inicial al vector: x

0 

0  0  , esto es:
0 

x1   0 ; x2   0 ; x3   0
0

0

0

Este primer valor de solución puede tener cualquier valor, y entre más cercano a sea al
valor supuesto con respecto al valor final,la convergencia será más rápida.
En general no se conocen los signos de los resultados y por esta razón se escoge el
vector inicial supuesto igual a cero. Sustituyendo en el Sistema (3), haciendok=0, se obtiene:

x11  0.50  0.25  0   0.50
 1

x2

 0.50 


 1.50  0.25  0   0.25  0   1.50 ; x =  1.50 
 0.50 


 1

x31  0.50  0.25  0   0.50

1

Siguiendo enigual forma las iteraciones, resulta:

x1 2   0.50  0.25  1.50   0.875
 2

x2

 0.875 


 1.50  0.25  0.50   0.25  0.50   1.750 ; x =  1.750 
 0.875 


 2

x3 2   0.50 0.25  1.50   0.875
Siguiendo de igual forma las iteraciones, resulta:

 0.938 
 0.985 
 0.995 




4 
5 
x =  1.940  ; x =  1.970  ; x =  1.990 
 0.938 
 0.985 
 0.995 





 0.998 
 1.000 
 1.000 
6
7
8






x  =  2.000  ; x  =  2.000  ; x  =  2.000 
 0.998 
 1.000 
 1.000 






 3

y la solución del sistema es:

x1  1 ;x2  2 ; x3  1
El método de Jacobi presentado se usa muy poco en la práctica. Esto se debe a que el
método iterativo que se establecerá a continuación siempre converge cuando el de Jacobi no
lo...