Gauss - Seidel

Gauss-Seidel

En análisis numérico el método de Gauss-Seidel es un método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método se llama así en honor a los matemáticosalemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel y es similar al método de Jacobi.

Aunque este método puede aplicarse a cualquier sistema de ecuaciones lineales que produzca una matriz(cuadrada, naturalmente pues para que exista solución única, el sistema debe tener tantas ecuaciones como incógnitas) de coeficientes con los elementos de su diagonal no-nulos, la convergencia del método solose garantiza si la matriz es diagonalmente dominante o si es simétrica y, a la vez, definida positiva.


En este método los valores se van calculando en la (k+1)-esima interacción se emplean paracalcular los valores faltantes de esa misma interacción; es decir, con x(k) se calcula x(k+1) de acuerdo con:














O bien, para un sistema de n ecuaciones:


EjemploResolver el siguiente sistema por Gauss-Seidel:

|4x1 |-2x2 | | |=1 |
|-x1 |+4x2 |-X3 | |=1 |
| |-x2 |+4x3|-x4 |=1 |
| | |-x3 |+4x4 |=1 |















Despejando a x1 de la primera ecuación, x2 de la segunda, etc.; se obtiene:|x1= | |x2/4 | | |+1/4 |
|X2= |X1/4 | |+x3/4 | |+1/4 |
|X3= | |x2/4 ||+x4/4 |+1/4 |
|X4= | | |+x3/4 | |+1/4 |















Vector Inicial


Cuando no se tiene una aproximación al vectorsolución, se emplea generalmente como vector inicial el vector cero, esto es:








Para el cálculo del primer elemento del vector x(1), se sustituye x(0) en la primer ecuación, para...