Geometría no euclidiana

Geometría no euclidiana

Los tres tipos de geometrías homogéneas posibles, además de la geometría euclidea de curvatura nula, existen la geometría elíptica de curvatura positiva, y la geometría hiperbólica de curvatura negativa. Si se consideran geometrías no-euclídeas homogéneas entonces existe una infinidad de posibles geometrías, descritas por las variedades riemannianasgenerales.
Sedenomina geometría no euclidiana o no euclídea, a cualquier forma de geometría cuyos postulados y propiedades difieren en algún punto de los establecidos por Euclides en su tratado Elementos. No existe un sólo tipo de geometría no euclídea, sino muchos, aunque si se restringe la discusión a espacios homogéneos, en los que la curvatura del espacio es la misma en cada punto, en los que los puntos delespacio son indistinguibles pueden distinguirse tres tipos de geometrías:
La geometría euclidiana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura cero.
La geometría hiperbólica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa.
La geometría elíptica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positiva.
Todos estos soncasos particulares de geometrías riemannianas, en los que la curvatura es constante, si se admite la posibilidad de que la curvatura intrínseca de la geometría varíe de un punto a otro se tiene un caso de geometría riemanniana general, como sucede en la teoría de la relatividad generaldonde la gravedad causa una curvatura no homogénea en el espacio tiempo, siendo mayor la curvatura cerca de lasconcentraciones de masa, lo cual es percibido como un campo gravitatorio atractivo.
Historia
El primer ejemplo de geometría no euclidiana fue la hiperbólica, teorizada inicialmente por Immanuel Kant formalizada posterior e independientemente por varios autores a principios del siglo XIX tales como Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, János Bolyai y Ferdinand Schweickard.
Los desarrollos degeometrías no euclídeas se gestaron en sus comienzos con el objetivo de construir modelos explícitos en los que no se cumpliera elquinto postulado de Euclides.
La geometría Euclideana había sido desarrollada por los griegos y expuesta por Euclides en la obra Los elementos. En su primera obra publicada, "Pensamientos sobre la verdadera estimación de las fuerzas vivas" (Gedanken von der wahrenSchätzung der lebendigen Kräfte und Beurteilung der Beweise derer sich Herr von Leibniz und anderer Mechaniker in dieser Streitsache bedient haben) (1746), Immanuel Kant considera espacios de más de tres dimensiones y afirma:
Una ciencia de todas estas posibles clases de espacio sería sin duda la empresa más elevada que un entendimiento finito podría acometer en el campo de la Geometría... Si esposible que existan extensiones con otras dimensiones, también es muy probable que Dios las haya traído a la existencia, porque sus obras tienen toda la magnitud y variedad de que son capaces.
Esas posibles geometrías que Kant entrevé son las que hoy se llaman geometrías euclidianas de dimensión mayor que 3.
Por otra parte, ya desde la antigüedad se consideró que el quinto postulado del libro deEuclides no era tan evidente como los otros cuatro pues, al afirmar que ciertas rectas (las paralelas) no se cortarán al prolongarlas indefinidamente, habla de una construcción mental un tanto abstracta. Por eso durante muchos siglos se intentó sin éxito demostrarlo a partir de los otros cuatro. A principios del siglo XIX, se intentó demostrarlo por reducción al absurdo, suponiendo que es falso ytratando de obtener una contradicción. Sin embargo, lejos de llegar a un absurdo se encontró que existían geometrías coherentes diferentes de la euclídea. Se había descubierto así la primera geometría no euclídea (en concreto el primer ejemplo que se logró era una geometría llamada hiperbólica).
Geometrías de curvatura constante
Geometría hiperbólica
A principios del siglo XIX, y de modo...