Geometría proyectiva

Geometría proyectiva para enseñanza
semipresencial
Ignacio Sols y Jesús Sols
En memoria de nuestro padre, un buen trabajador

Índice general
Prólogo

v

Capítulo 1. El espacio proyectivo
1. Enunciados de los ejercicios
2. Soluciones de los ejercicios

1
1
6

Capítulo 2. Geometría en la recta proyectiva

7

1. Enunciados de los ejercicios
2. Soluciones de los ejercicios7
10

Capítulo 3.
Plano proyectivo
1. Enunciado de los ejercicios
2.
Soluciones de los ejercicios

13
13
16

Capítulo 4. Cuádricas
1.
Enunciado de los ejercicios
2.
Solución de los ejercicios

19
19
24

Capítulo 5. Cónicas
1. Enunciados de los ejercicios
2. Soluciones de los ejercicios

31
31
33

Capítulo 6. Consecuencias del Teorema de Chasles
1. Enunciados de losejercicios
2. Soluciones de los ejercicios

39
39
42

Capítulo 7.

47

Más sobre cónicas lisas

1. Enunciados de los ejercicios

47

2. Solución de los ejercicios

50

Capítulo 8.

55

Haces de cónicas

1. Enunciados de los ejercicios
2. Soluciones de los ejercicios

55
59

Capítulo 9. Clasi…cación de cuádricas reales
1.
2. Enunciado de los ejercicios

63
6363

iii

iv

ÍNDICE GENERAL

3. Soluciones de los ejercicios
Capítulo 10. Espacio euclídeo
1. Enunciado de los ejercicios
2.
Solución de los ejercicios
3.
Capítulo 11. Más sobre geometría euclídea
1. Enunciados de los ejercicios
2. Soluciones de los ejercicios

67
81
81
85
85
89
89
94

Prólogo
Este es material ha sido elaborado por los dos autores para un cursoimpartido
por Ignacio Sols como experiencia de enseñanza semipresencial, según el espíritu de
convergencia de Bolonia. En la primera parte, se proponen unos ejercicios teóricos
cuya resolución y entrega semanal al profesor constituyen la confección por parte
del alumno de su propio texto. La segunda parte consiste en las contestaciones a
estos ejercicios, un material que el profesor puede irponiendo en la red, semana a
semana, para que el alumno pueda confrontar sus respuestas con las del profesor.
La semipresencialidad prevista para el uso de este material consiste, por supuesto,
en que los ejercicios teóricos deben ser presentados semanalmente por el profesor
en una sesión larga o un par de sesiones en el aula, lo que justi…ca la parquedad de
nuestro estilo.
Se trata pues deejercicios "teóricos", cuyo conjunto conforma la teoría del
curso, por lo que su complemento natural es una colección de ejercicios "prácticos",
material que hemos confeccionado para que puedan ser propuestos en paralelo con
asistencia del programa de cálculo "Wiris"del prof. Sebastián Xambó.
Hemos supuesto la familiaridad del alumno con el Algebra y la Geometría
Lineal en un espacio vectorial, yen el espacio afín , con o sin estructura métrica,
y como recordatorio de estos prerrequisitos incluimos al …nal un apéndice, cuya
resumida exposición a principio de curso -una o dos semanas- encontramos muy
recomendable.
Hubiésemos querido tratar el espacio proyectivo tan extensivamente al menos
como el plano proyectivo, pero eso tan sólo era posible en la antigua enseñanza en
que sededicaba una año entero a la geometría proyectiva. Hemos perdido eso en
solidez de la formación de nuestros jóvenes, pérdida que probablemente no pueda
justi…carse porque hayamos ganado en otros aspectos: en matemáticas, nada vale a
cambio de las matemáticas. Sencillamente, no estamos transmitiendo lo que hemos
recibido. Pero al menos, a pesar de la brevedad de este curso, demostramos el
teorema deWitt, complejo y real, de clasi…cación afín de las cuádricas en dimensión
arbitraria. Se trata , pues , del teorema principal de este curso.
No cabe duda, pues, de que la continuación natural sería hacia la dimensión
tres. Por esa razón hemos incluído su tratamiento como uno de los apéndices con
temas sugeridos a modo de seminario para que puedan proseguir aquellos alumnos
que se hayan...