Geometría proyectiva

Trabajo de Geometría Proyectiva

Geometrías de Riemann:

Introducción:

:: la revolución de las geometrías no·euclídeas | Gauss y Riemann

A principios del siglo XIX y de modo independiente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856), János Bolyai (1802-1860) y Ferdinand Schweickard (1780-1859) lograron construir la geometría hiperbólica a partir delintento de negar el quinto postulado de Euclides y obtener una contradicción. En lugar de obtener una contradicción lo que obtuvieron fue una curiosa geometría en la que la suma de los tres ángulos de un triángulo era menor de 180º [en la geometría euclídea los ángulos de cualquier triángulo suman siempre exactamente 180º].

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La naturaleza de esta geometría quedó confirmada a finales delsiglo, cuando Eugenio Beltrami (1835-1899) demostró que la geometría hiperbólica coincide con la geometría intrínseca de cierta superficie y Félix Klein (1849-1925) determinó su interpretación proyectiva. Ambos resultados prueban que es tan consistente como la geometría euclídea [es decir, si la geometría hiperbólica lleva a alguna contradicción, entonces la geometría euclídea también].

Algunosafirman que Gauss fue el primero en considerar la posibilidad de que la geometría del Universo no fuera la euclídea. Sabiendo que en la geometría hiperbólica la suma de los ángulos de cualquier triángulo es menor que dos rectos, se dice que subió a la cima de tres montañas con un teodolito, aunque la precisión de sus instrumentos no fue suficiente para decidir la cuestión con tal experimento. Sinembargo, otros afirman que cuando escribió que trataba de corregir los efectos de posibles curvaturas se refería a corregir el efecto de la curvatura terrestre en los estudios cartográficos que estaba realizando.

Bernhard Riemann (1826-1866) fue un matemático alemán discípulo de Gauss cuyas importantes contribuciones en análisis y geometría diferencial allanaron el camino para el desarrollo másavanzado de la relatividad general. Riemann considera en su tesis las posibles geometrías que infinitesimalmente son euclídeas. Su estudio se conoce hoy en día como geometría riemanniana.

Para el análisis de estas geometrías, Riemann introdujo el formalismo del tensor de curvatura y demostró que la geometría euclídea es un caso particular de geometría riemanninana caracterizada por la anulacióndel tensor de curvatura [al menos localmente]. Su tensor métrico es un tensor de rango 2 que se utiliza para definir conceptos métricos como distancia, ángulo y volumen en un espacio localmente euclídeo.

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superficies de Riemann

Biografía de Bernhard Riemann:

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Nació: el 17-09-1826 en Breselenz (Hannover), Alemania.
Murió: el 20-07-1866 en Selasca Italia.
El padre era unpastor luterano y fue el profesor de sus hijos hasta los diez años. Bernhard era el segundo de seis hermanos (cuatro hermanas y dos hermanos).
A los catorce años se fue a estudiar a Hannover, donde vivía con su abuela. Dos años más tarde muere su abuela y Riemann se traslada a Lüneburg y estudia en Gymnasium Johanneum (el equivalente a nuestros Institutos). Uno de los profesores (Seffer) lo hospedaen su casa. 
Riemman era un buen alumno, pero no excepcional. Mostraba especial interés por las matemáticas y el director del Gymnasium (Schmalfuss), que era matemático de profesión, apreció sus cualidades para las matemáticas y le permitió estudiar libros de su biblioteca particular. En una ocasión le prestó un libro de Legendre sobre teoría de números y Riemann leyó las 900 páginas en 6 días.En 1846 entró en la Universidad de Göttingen, para estudiar Teología, sin embargo asistió a algunas clases de Matemáticas que impartía Gauss y esto le dejó impresionado. Pidió permiso a su padre para dejar los estudios de Teología y estudiar Matemáticas y su padre aceptó.
En 1847 se fue a la Universidad de Berlín, que era la mejor Universidad en Matemáticas. Fueron sus profesores Steiner,...