Geometría


1 CONCEPTOS GEOMÉTRICOS FUNDAMENTALES

1.1 Geometría:

Es una ciencia que forma parte de las matemáticas y que se encarga del estudio de la forma, propiedades y medidas de las figuras y cuerpos que se encuentran en el universo o en la mente humana.

1.2 Términos no Definidos de la Geometría:

Los términos fundamentales de la geometría que no han sido definidos son: punto, recta,línea, plano, espacio, medida, dimensión, entre otros. Esto por cuanto su comprensión es muy elemental y no existirían palabras más sencillas para definirlas sin caer en un círculo vicioso.

1.3 Proposición:

En general es el enunciado de un problema a resolverse, una propiedad a demostrarse, una verdad a aprenderse, etc.

1.4 Axioma:

Es una proposición matemática que siendo evidente, nonecesita demostración. Los axiomas son los principios y verdades de todas las ciencias.

Ejemplos:




1.5 Postulado:

Es una proposición matemática que sin ser tan evidente como un axioma, sin embargo se lo admite sin demostración. Los postulados hacen referencia solamente a propiedades geométricas, por lo tanto son los axiomas de la Geometría.


Ejemplos:

La distancia más corta entredos puntos, es el segmento de recta que los une.
Por tres puntos no colineales, pasa un plano y sólo uno, o infinito número de planos coincidentes.

1.6 Teorema:

Es una proposición matemática cuya verdad debe ser demostrada. Está conformado por dos partes: La Hipótesis y la Tesis. La Hipótesis es el conjunto de propiedades, verdades, axiomas, etc. que se toman como punto de partida parademostrar la propiedad que se declara del teorema. Tesis es la propiedad que se quiere demostrar.

1.7 Corolario:

Es una proposición matemática que no necesita ser demostrada, puesto que es consecuencia directa de la demostración de un teorema.

Ejemplo:

Teorema de Pitágoras : c2 = a2 + b2
Corolario: a2 = c2 - b2

1.8 Problema:

Es unaproposición matemática cualesquiera que se plantea para ser resuelta.


2 CONCEPTOS GEOMÉTRICOS RELACIONALES

2.1 Congruencia:

Dos figuras o cuerpos geométricos son congruentes cuando tienen exactamente la misma forma y medidas longitudinales, de tal manera que si se los superpone coinciden el uno con el otro.

Ejemplo:

El triángulo ABC y el triángulo A’B’C’ de las figuras de abajoson congruentes puesto que tanto sus formas y medidas son iguales y se simboliza de la siguiente manera:



A A’

B C B’ C’

2.2 Equivalencia:

Cuando dos figuras ocuerpos geométricos tienen la misma medida y no necesariamente la misma forma, se dice que éstos son equivalentes.

Ejemplo:

Tanto el cuadrado como el triángulo de las figuras que están a continuación tienen sus perímetros iguales, puesto que del primero es 4x3=12 y del segundo 3x4=12; por lo tanto estas dos figuras son, en las medidas que se dan, equivalentes respecto a su perímetro. Pero nosolamente pueden ser equivalentes respecto al perímetro; podrían ser respecto a la superficie, al volumen, etc.




=



2.3 Semejanza:

Dos figuras o cuerpos geométricos son semejantes cuando tienen la misma forma y sus medidas longitudinales proporcionales. Cuando tienen el mismo tamaño se dice que la relación de semejanza es 1:1.
Ejemplo:
Los paralelogramos ABCD y A’B’C’D’de abajo son semejantes, puesto que tienen la misma forma y si es que medimos sus lados correspondientes vamos a ver que se mantiene una cierta proporcionalidad. Se simboliza de la siguiente manera:
ABCD A’B’C’D’
A B

A’ B’

C D C’ D’

2.4...