geometría

4

RESOLUCIÓN
DE TRIÁNGULOS

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REFLEXIONA Y RESUELVE
Problema 1
Para calcular la altura de un árbol, podemos seguir el procedimiento que utilizó Tales de Mileto para hallar la altura de una pirámide de Egipto: comparar
su sombra con la de una vara vertical cuya longitud es conocida.
I

Hazlo tú siguiendo este método y sabiendo que:
— la vara mide 124 cm,
— la sombra de lavara mide 37 cm,
— la sombra del árbol mide 258 cm.
Para solucionar este problema habrás utilizado la semejanza de dos triángulos.
124
37
=
x
258
x=
x

258 · 124
= 864,65 cm
37

124 cm
37 cm
258 cm
La altura del árbol es de 864,65 cm.

Problema 2
ì

Bernardo conoce la distancia AB a la que está del árbol y los ángulos CBA y
ì
BAC; y quiere calcular la distancia BC a la queestá de Carmen.
ì

ì

Datos: AB = 63 m; CBA = 42o; BAC = 83o
I

Para resolver el problema, primero realiza un dibujo a escala 1:1 000 (1 m 8
8 1 mm). Después, mide la longitud del segmenA
to BC y, deshaciendo la escala, obtendrás la dis83°
tancia a la que Bernardo está de Carmen.
63 m
BC = 42 mm
Deshaciendo la escala: BC = 42 m

42°

B

Unidad 4. Resolución de triángulos

C17

Problema 3
I

Análogamente puedes resolver este otro:
Bernardo ve desde su casa el castillo y la abadía. Conoce las distancias a ambos lugares, pues ha hecho el camino a pie muchas veces; y quiere averiguar
la distancia del castillo a la abadía. Para ello debe, previamente, medir el ánì
gulo CBA .
ì
—
—
Datos: BC = 1 200 m; BA = 700 m; CBA = 108o.

I

Utiliza ahora la escala1:10 000 (100 m 8 1 cm).
100 m 8 1 cm
1 200 m 8 12 cm
700 m 8 7 cm
—
—
CA = 14,7 cm ò CA = 1 470 m
A

700 m 8 7 cm
108°
B

C

1200 m 8 12 cm

NOTA: El triángulo está construido al 50% de su tamaño.

Problema 4
I

Calcula, aplicando el teorema de Pitágoras:
a) Los lados iguales de un triángulo rectángulo isósceles cuya hipotenusa mide 1.

1
x

x

b) La altura de untriángulo equilátero de lado 1.
Haz todos los cálculos manteniendo los radicales.
Debes llegar a las siguientes soluciones:

1
y

x=

18

√2
2

y=

√3
2

1
2

Unidad 4. Resolución de triángulos

UNIDAD

a) 12 = x 2 + x 2 8 1 = 2x 2 8 x 2 =
b) 12 = y 2 +

(1)
2

2

8 y2 = 1 –

1
3
=
4
4

1
2

8 x=
8 y=

1

—

√2

=

4

√2
2

√3
2Página 104
1. Calcula tg a sabiendo que sen a = 0,39. Hazlo, también, con calculadora.
cos a = √1 – (sen a)2 = √1 – 0,392 = 0,92
tg a =

sen a
= 0,42
cos a

Con calculadora: s ß 0,39 = t = {≠Ÿ¢“«∞«|£‘≠‘°}
2. Calcula cos a sabiendo que tg a = 1,28. Hazlo, también, con calculadora.
s2 + c2 = 1 °
¢ Resolviendo el sistema se obtiene s = 0,79 y c = 0,62.
s/c = 1,28 £
Con calculadora: s t 1,28 =© = {≠Ÿ\‘∞\¢¢≠¢‘£|}

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1. Sabiendo que el ángulo a está en el segundo cuadrante (90° < a < 180°) y sen
a = 0,62, calcula cos a y tg a.
cos a = – √1 – 0,622 = –0,78
0,62

tg a =

c

0,62
= –0,79
–0,78

t

2. Sabiendo que el ángulo a está en el tercer cuadrante (180° < a < 270°) y
cos a = –0,83, calcula sen a y tg a.
sen a = – √1 – (0,83)2 = –0,56
t
–0,83
s

Unidad4. Resolución de triángulos

tg a =

–0,56
= 0,67
–0,83

19

3. Sabiendo que el ángulo a está en el cuarto cuadrante (270° < a < 360°) y
tg a = –0,92, calcula sen a y cos a.
s/c = –0,92 °
¢ El sistema tiene dos soluciones:
s2 + c2 = 1 £
s = –0,68; c = 0,74

s
–0,92

s = 0,68; c = –0,74

t
c

Teniendo en cuenta dónde está el ángulo, la solución es la primera: sen a =–0,68,
cos a = 0,74
4. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla y amplíala para los ángulos 210°,
225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330° y 360°.
0°
sen
cos
tg

30°

45°

60°

—

—

90° 120° 135° 150° 180°

1/2 √2/2 √3/2

0

1

—

√3/2

1

0

—

√3/3

0

–

Ayúdate de la representación de los ángulos en una circunferencia goniométrica.
0°
sen
cos
tg...