Geometri analitica

GEOMETRÍA ANALÍTICA

Línea recta
Si l es una recta no paralela al eje Y, y si P ¹ (X ¹, Y ¹) y P ² (X ², Y ²) son puntos diferentes en l, entonces la pendiente o inclinación M de l esta dada por
Y ²- X ¹
M = —————
X ²- X ¹
Si l es paralela al eje, entonces la pendiente no esta definida.
Al numerador Y ²-Y ¹ en la formula para M, en ocasiones se le llama desnivel de P ¹ a P ². Mide elcambio vertical de dirección al avanzar de P ¹ a P ², y puede ser positivo, negativo o cero. El denominador X ² - X ¹ se llama corrimiento de P ¹ a P ². Mide el cambio de dirección horizontal al recorrer de P ¹ a P ². El corrimiento puede ser positivo o negativo, pero nunca cero, porque l no es paralela al eje Y. usando esta terminología,
Desnivel de P ¹ a P ².
Pendiente de l = ————————————Corrimiento de P ¹ a P ².
Cuando se determina la pendiente o inclinación de una recta l es irrelevante cual punto se denominara P ¹, y cual, P ²,
Y ²- Y ¹ Y ¹ - Y ²
————— = ——————
X ²- X ¹ X ¹ - X ²
En consecuencia, puede suponerse que los puntos se denominan de modo que X ¹ < X ², en este caso, X ²- X ¹ > 0, y por consiguiente, la pendiente es positiva, negativa o cero, dependiendo de si Y ²> Y ¹, Y ² < Y ¹ o bien Y ² = Y ¹. La pendiente de la recta mostrada en la grafica (i) es positiva, en tanto es negativa la pendiente de la recta mostrada en (ii) de la grafica.
Una recta horizontal es una recta paralela al eje X. obsérvese que la recta es horizontal si y solo si su inclinación vale 0. Una recta vertical es un recta paralela al eje Y. la inclinación de una recta vertical esindefinida.

La parábola
Una parábola es el conjunto de todos los puntos de un plano que son equilibrantes de un punto fijo F llamado foco y de una recta fija l denominada directriz situados en el plano.
Ejemplo.
Hallar el foco y la directriz de la parábola que tiene por ecuación Y ² = - 6X y trazar su grafica.

En consecuencia el foco y la ecuación de la directriz están dados por F (³/²,0) y X = ³/², respectivamente.
La elipse
Una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos en el plano (los focos) es constante.
Ejemplo.
Representar la siguiente ecuación gráficamente. 4X ² + 18Y ² = 36
Para obtener la forma canónica del teorema tenemos que dividir ambos lados de la ecuación dada entre 36 y simplificar. Seobtiene así:
X ² Y ²
¯¯¯ + ¯¯¯ = 1
9 2
La cual esta en la forma citada con a ² = 9 y b = 2. Así, a = 3, b = V¯²¯; por consiguiente, los extremos del eje mayor son (± 3, 0) y los del eje menor (0, ±V¯² ¯
Como c ² = a ² - b ² = 9 - 2 = 7 o bien V¯7¯.

La hipérbole
La definición de la hipérbole es similar a la de la elipse. La única diferencia es que en lugar de considerar la suma de lasdistancias a dos puntos fijos, se toma la diferencia.
Una hipérbole es el Conjunto de todos los puntos en un punto plano, tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano llamados focos, es una constante positiva.
Ejemplo.

Analizar y trazar la grafica de la ecuación 9X ² - 4Y ² = 36
Dividimos ambos lados entre 36, tenemos:
X ² Y ²
¯¯¯¯ ¯ ¯¯¯¯ = 1
* 9
Que esta en la formacanónica establecida en el teorema con a ² = 4 y b ² = 9; es decir, a = 2 y b = 3. Los vértices (± 2, 0) y los puntos extremos (0, ± 3) del eje conjugado determinan un rectángulo, cuyas diagonales (prolongadas) dan las asíntotas. La grafica o las ecuaciones y = ± (b/a) X permiten encontrar las ecuaciones de las asíntotas: y = ± ³/² X. como c ² = a ² + b ² = 4 + 9 = 13, los focos son (±V¯13, 0).En el ejercicio anterior se muestra que para las hipérboles no siempre se cumple que a < b, como en el caso de las elipses se puede tener a < b, a > b o bien a = b.
La circunferencia
Si C (h, k) es un punto del plano coordenado, entonces se puede definir a la circunfencia con centro en C y radio r > 0 como el conjunto de todos los puntos que distan r unidades de C. como la grafica...