geometria afin

Geometría afín en el espacio. Rectas y planos

Matemáticas 2

Geometría afín en el espacio. Rectas y planos
1. Ecuaciones de la recta
La ecuación de una recta viene determinada por un punto A(x0,y0,z0)∈R3
r
u

A

r
a

X

r
x
O

r
y un vector u (u1 , u2 , u3 ) ∈V3 o por dos puntos A(x0,y0,z0) , B(x1,y1,z1) ∈R3

r
que viene a ser lo mismo. Al vector u llamaremos vectordirector de la
recta.

r
Un punto cualquiera X(x,y,z) pertene a la recta r si el vector AX es proporcional al vector u . Es
r
decir que la recta que pasa por A y tiene como vector director a u está determinada por la ecuación:
r
rr
AX = λu con λ ∈ R teniendo en cuenta que AX = x − a se obtiene la ecuación:

1.1 Ecuación vectorial

rr
r
x = a + λu con λ ∈ R

Poniéndola en coordenadasy componentes (x,y,z)= (x0,y0,z0)+λ (u1 , u2 , u3 ) con λ∈R separando las
componentes obtenemos:
⎧ x = x0 + λu1
1.2 Ecuaciones paramétricas ⎪ y = y0 + λu2 λ ∈ R
⎨
⎪ z = z + λu
0
3
⎩

Despejando λ de cada ecuación e igualándolas:

1.3 Ecuación continua

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
u1
u2
u3

Si en lugar de conocer el vector director tenemos dos puntos se transforma en:

x − x0y − y0
z − z0
=
=
x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0
Operando estas igualdades, agrupando términos y ordenándolos obtenemos las

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A.G.Onandía

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1.4 Ecuaciones cartesianas o implicitas

⎧ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
r≡⎨
⎩ A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

Como veremos más adelante ésta es una forma de representar unarecta como intersección de dos
planos.
Ejemplo 1: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-1,-1,-1) y tiene por vector director

r
u (0,-1,2) en sus diferentes expresiones.
a) Ecuación vectorial (x,y,z)=(-1,-1,-1)+λ(0,-1,2) λ∈R
⎧ x = −1
⎪
b) Ecuaciones paramétricas ⎨ y = −1 − λ λ ∈ R
⎪ z = −1 + 2 λ
⎩

c) Ecuación continua

x +1 y +1 z +1
=
=
−1
0
2

⎧x + 1 = 0
d)Ecuaciones cartesianas ⎨
⎩2 y + z + 3 = 0
Ejemplo 2: Hallar la ecuación continua de la recta que pasa por los puntos A(1,-1,2) y B(0,-3,-2)
x −1 y +1 z − 2
=
=
−1
−2
−4

siendo (-1,-2,-4) el vector director.

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2. Ecuaciones del plano
Un plano queda determinado por un punto A(x0,y0,z0)∈R3 ydos vectores
r
r
u (u1 , u2 , u3 ), v (v1 , v2 , v3 ) ∈ V 3 linealmente independientes o por tres puntos no alineados.

rr
Los vectores u y v se llaman vectores directores del plano.

r
u

Un punto X pertenece al plano π si el vector AX es

rr
r
r
combinación lineal de u y v es decir AX = λu + μv

rr
av

λ, μ ∈ R

rr
r
r
x = a + λu + μv

{

r
x

π

O

vrteniendo en cuenta que AX = x − a obtenemos la ecuación:

2.1 Ecuación vectorial

X

A

λ, μ ∈ R

}

rrr
Considerando un sistema de referencia O, i , j , k tenemos que A(x0,y0,z0),
r
r
u (u 1 , u 2 , u 3 ), v (v 1 , v 2 , v 3 ) sustituyendo en la ecuación anterior nos queda:

r
x = ( x0 , y0 , z0 ) + λ (u1 , u2 , u3 ) + μ (v1 , v2 , v3 )

λ , μ ∈ R separando por componentes:

⎧x = xo + λu1 + μv1
2.2 Ecuaciones paramétricas ⎪ y = y0 + λu2 + μv2
⎨
⎪ z = z + λu + μv
0
3
3
⎩

λ, μ ∈ R

2.3 Ecuación general o implícita
Hemos visto que un plano π queda determinado por un punto A(x0,y0,z0)∈R3 y dos vectores

r
r
linealmente independientes u (u1 , u2 , u3 ), v (v1 , v2 , v3 ) ∈ V 3 que llamamos vectores directores i.e.

rr
π(A, u , v ) (se denominadeterminación lineal del plano).
rr
Un punto X pertenece al plano π si el vector AX es combinación lineal de u y v es decir

(

)

r
Rg AX , u , v = 2 es decir

x − x0
u1
v1

y − y0
u2
v2

z − z0
u3 = 0 desarrollando por los adjuntos de los elementos
v3

de la 1ª fila se obtiene una expresión del tipo Ax+By+Cz+D=0 que se denomina ecuación general o
implícita del plano.
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