Geometria Analitica

GEOMETRÍA ANALÍTICA
Coordenadas y métodos fundamentales
La geometría analítica, lo mismo que la elemental, se ocupa de las propiedades (forma, tamaño y situación) de las figuras planas y espaciales. Se diferencia de la Geometría elemental no sólo en que se vale de la Trigonometría, sino también en que hace aplicación mucho más extensa del Álgebra. Las relaciones geométricas y los teoremas sededucen por el cálculo algebraico que facilita el análisis de figuras complicadas, en particular el de curvas y superficies, cuya investigación a base de construcciones elementales resulta muy difícil. Los métodos de la geometría analítica pueden dividirse en dos grupos:
a) aquellos por los que se establece la situación de cada punto por ciertas magnitudes geométricas, denominadas coordenadas, yb) aquellos que expresan las propiedades geométricas de una figura mediante ecuaciones en las que entran las coordenadas.
Según que todos los puntos de la figura y sus coordenadas se encuentren en un plano o en el espacio, se distinguen la Geometría analítica plana y la del espacio. Entre ellas puede todavía mencionarse la que se circunscribe a puntos, coordenadas y figuras pertenecientes a ciertasuperficie curva, como la Geometría analítica esférica. El sistema de determinación de un punto se elige cuidadosamente adaptando al objeto que se persigue. Un ejemplo conocido es la determinación de un lugar sobre la superficie de la Tierra por sus coordenadas geográficas: longitud y latitud. Las coordenadas son elementos característicos operatorios de la Geometría anlítica, que por ello sellama también Geometría de coordenadas. Para determinar la situación en el plano y en el espacio se emplean corrientemente las coordenadas paralelas y polares.

Coordenadas paralelas del plano

Fig.1 Sistema de coordenadas cartesianas
Para fijar la situación de un punto en un plano por coordenadas paralelas se fijan primero en éste dos rectas, llamadas ejes coordenados, que se corten formando unángulo cualquiera y cuyo punto de intersección es el origen del sistema de coordenadas O, Fig.1. Si designamos a los dos ejes porX e Y, damos a cada uno de ellos una dirección positiva desde el origen hacia cierto lado y negativa a la contraria y proyectamos un punto P del plano sobre el eje X por una paralela al Y y sobre este último una paralela al X figura 1, serán OQ = RP = x y OR = QP = y lascoordenadas paralelasdel punto P. Las distancias OQ y OR se denominan Abscisa y ordenada del punto P y los ejes X e Y reciben también los nombres de eje de las abscisas y eje de las ordenadas. El sistema de coordenadas de la figura 1 es oblicuo. Si fuera  o 90 grados, tendríamos el sistema de coordenadasortogonal o cartesiano, en honor a René Descartes, fundador de la Geometría analítica.Si x , y y x1, y1 son las coordenadas de dos punto P y P1 figura2, la distancia entre estos dos puntos es

y también puede determinarse el ángulo α que forma la recta AB con el eje X por la expresión

Mediante esta fórmula puede saberse por simple cálculo si tres puntos P, P1 y P2 dados por sus coordenadas x,y ; x1,y1 y x2,y2 se encuentran en línea recta. Si esto sucede, los segmentos PP1 y P1P2 tendránla misma inclinación, es decir, formaran el mismo ángulo  con el eje X, luego

para tres puntos P(4,13), P1(2,8) y P2(6,18) resulta por ejemplo,
, así como la prueba ,
luego los tres puntos estarán en línea recta.

Fig.2 La recta en coordenadas cartesianas

Funciones inversas y curvas de función
y = ax, x = loga(y), y = loaa(x).
En la primera de estas expresiones aparece y como funcióndex, es decir que el valor de y depende del de x. Por eso se llama a y la variable dependiente y a x la variable independiente. Si expresamos ahora x en función de y, como en la segunda de las expresiones, resultará x como variable dependiente e y como independiente. Las coordenadas de las curvas correspondientes a estas funciones inversas, como las mismas curvas no habrán variado, sólo...