geometria analitica

DE
r”

GEOMETRIA ANALITICA
Plana y del Espacio
JOSEPH H . KINDLE, Pti. D.
-

Professor of Mathematics
University of Cincinnati

YXI

TRADUrClON Y ADAPTACION

LUIS GUTIÉRREZ
DíEz
Ing( x 2 - x3)

- x2.vi

- f(Y1 i .VA

(y2

t área del tra-

- ,y,)

- X3y2).

Este resultado se puede expresar de otra manera, más fácil de recordar, teniendo en
cuenta la notación dedeterminante:
A

--

2

1

XI

.VI

.y2

y2 1

,y3

Y3

1

Otra forma de expresar el área de u n triángulo, m u y útil cuando se trate de hallar áreas
de polígonos de más de tres lados, es la siguiente:

Obsérvese que se ha repetido la primera fila en la cuarta.

PROBLEMAS RESUELTOS
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.
1.

Hallar la distancia entre a ) (-2, 3 ) y ( 5 , I ) , h )(6, - 1 )
__ - - ~ = ~ ( 5 2)’ + ( I
a ) d = v ‘ ( x ~ - - . Y ~ )+~( y Z - y , ) 2
I

- - - ~
--__
~

h) d

- xi)’

~ ( x Z

___

-

-

+ ( y , - yi)’ = v‘(-4

y (-4, -3).
-_--

+

-3)2=

2 6 ) ’ +

L A tIIPE R1301 A

63

8 . Hallar la ecuación d e la hiperbola que tiene \u centro en el oiigen, u n vértice en (6, O) y por una
de s u i a3íntotac la recta 4 1 -31 - O

Emibiiiioi la ecuacióii de la aiíntota dadd en la foriiia y

Las asíntota5 de

XL
- 117

2%'
ti'

-

Coi110 u11 vértice es ( 6 , O). a

I son y

7-

6y h

h

i

CI

40
3

-

i.Luego

-

=

-

4
3

h

Y

4
-

-

17

3

'

8, con io que la ecuación es

A2

-

36

4'2

64

--

I

Y. Hallar la ecuación de la hipéi bolacon centro en (-4, I ) , un vértice en (2, 1) y semieje imaginario
igual a 4.
La di\tancia entre el centro y el vértice es 6; luego a -- 6.
El seinieje imaginario ei 4 ; luego b = 4.

Surtituyendo en (u- ---/?y - (-y--- k)Z
(12
b2

1

8 +4Y
(Y-I . se obtiene ( --_____
- -36
16

__

-- _ _

,.

10. Dada la hipérbola 9aL-- 16yL - 18r--64y-- 199
O. hallar a ) el centro. h )loz vértices, c) los foco\, ri) la\ ecuaciones dc las asíiitotas y e ) efectuar

repre\sntación gráfica
Procediendo coino Ce indica, escribimos la
ecuación eii la forma
511

9( \z-- 2 Y 3 I ) -- 16(y' $- 4 y i 4)

SO/. a ) ( I , - 2 ) :

b) ( - 3 , -2),

-=

199 - 64 t 9,

d ) y 4-2

C) (
4
-2),,
(6, -2);

( 5 , --2);

=

3
4

-(Y-

11. Hallar la ecuación de lahipérbola que pase por el punto (4, 6) y cuyas asíntotas sean y

Las adntotac de la hipérbola

Operando, f

t?

=

+ -,a
X

Coirio el producto
asíntotar de

y2
--

a2

Jj2

-

bz

5 -- '
?
= I.
son y
h2

a2

o bien.

X

--

a

(u a) (s
-

= 1 se

- y =O y

b

+

b)

=

X
6-

a

b

-=

a

i-

Y

--

b

"
- - --

a2

b1I).

==

I

i-43~.

X.

= O.

-r

O, se deduce que las ecuaciones de las

pueden determiiiar anulando el térmiqo independiente y descompo-

niendo en factoreí.
En este problema, pues, la ecuación de la hipérbola toma la forma
(y

- &u)(,>

-i \/Tu> - C(constante).

a

LA I i I P t R ü O L A

64

Sustituyendo lai coordenada5 del punto (4, 6), (6 - 4 4 3 ) (6 -1 4\/3)==

c = -12.

,-

Luego la ecuación pedida e~ ( y - d3 w) í Y t t 3-1) = -12, o bien, 3x2 -- y2

=

12.

DeJlnicicOn. Dos hipérbolai son cnr~jugadmsi los ejes real e imaginario de una de ellas son, respectivamente, el imaginario y real de la otra. Para hallar la ecuación de la hipérbola conjugada de una dada
no hay más que cambiar en ésta los signos de los coeficientes de x2 e y2..Y2
--

12. Deducir la ecuación de la hipérbola conjugada de

y2
- --

=

I . Hallar las ecuaeiones de las asínto-

+

=

I.

9
16
tas y las coordenadas de los focos de ambas hipérbolas.

La ecuación de la hipérbola conjugada es

-

X2

-

9

.Y2

-- -

16

En las dos hipérbolas, c = v'9 t 16 - 5 Luego las coordenadas de los focos de la hipérbola
dada...