Geometria Analitica

Recta
Geométricamente se define como la distancia más corta entre dos puntos. Analíticamente es una ecuación de primer grado con dos variables y graficamentese define como el lugar geométrico de la sucesión de puntos, tales que, tomados dos puntos diferentes cualesquiera P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) del lugar geométrico, el valor de la pendiente m es siempre constante.
1.- Ecuación puntopendiente de una recta
Por geometría, la recta se determina perfectamente cuando se conoce uno de sus puntos y su dirección. Analíticamente la ecuación de la recta se determina perfectamente cuando se conocen las coordenadas de uno de sus puntos y su angulo de inclinación o pendiente.

TeoremaLa ecuación de la recta que pasa por elpunto P1 (x1, y1) y tiene la pendiente dadam, es:y - y1 = m (x –x1) |

A (2,-4) m= (-1)
3

y + 4 = (-1) (x - 2)
3
3y +12 = -x + 2
x + 3y + 12 - 2 = 0
x + 3y + 10 = 0

2.- Ecuación Pendiente-Ordenada:
Al aplicar la ecuación punto ypendiente para una recta l cuya pendiente dada es m y pasa por el punto dado B (0,b), tenemos que:

y - y1 = m (x – x1)

y – b = m (x – 0)

y – b = mx

y = mx + b


A esta forma de la ecuación de la recta, también se le denomina común.

Unarecta paralela al eje y no tiene ordenada en el origen; por lo anterior la ecuación obtenida no se aplica; en este caso, su ecuación es; x = a.
Se hace notar que la recta l tiene su ordenada en el origen, intersectando al eje y en b.

TeoremaLa ecuación de la recta cuya pendiente es m y tiene su ordenada en el origen (b), es:y = mx + b |B= 3 m= -2
7

y = -2x + 3
7
y = -2x + 21
7
7y = -2x + 21

2x + 7y – 21 = 0

3.-Ecuación de la recta que pasa por Dos Puntos:
Por geometría, una recta queda perfectamente determinada por dos cualesquiera de sus puntos; analíticamente, la ecuación de una recta también queda perfectamente determinada cuando se conocen las coordenadas de dos cualesquiera de sus puntos

TeoremaLa ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2), es:y – y1 = y1 – y2 =(x – x1) x1 – x2 |

A esta forma de la ecuación de la recta también se le denomina cartesiana.

A(1,3) B(2,5)

m = 5 – 3 = 2
2 – 1 1y – y1 = m(x – x1)

y – 3 = 2 (x – 1)

y = 2x – 2 + 3

y = 2x + 1

4.- Ecuación Simétrica o Canónica de la recta

TeoremaLa ecuación de la recta que intersecta los ejes coordenados X y Y en los puntos (a, 0) y (0, b), respectivamente es: x + y = 1a b |

Los segmentos que una recta determina sobre los ejes X y Y son – 6 y – 2 respectivamente.
x + y = 1
a b...