Geometria en el espacio

Geometría del Espacio.

Ubicación de puntos en el plano y el espacio.
La ubicación de un punto en el plano cartesiano, viene dada por las coordenada (x,y) que representan las proyecciones del punto sobre los ejes cartesianos.

En el caso del espacio tridimensional, cada punto P del espacio representa las tres proyecciones sobre los ejes P (x,y,z,)

Distancia entre los Puntos.
En el casode un par de puntos ubicados en el plano, la distancia entre ellos viene dada por la expresión:
dAB = (x2-x1)2+(y2-y1)2

Mientras que para el caso de dos puntos ubicados en el espacio, la distancia entre ellos viene dada por la expresión:
dAB = (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2+z1)2

Coordenadas del Punto Medio.
Si deseamos conocer las coordenadas del punto medio del segmento que une dos puntoscualesquiera del plano o del espacio, basta con hallar la semisuma de las coordenadas de los mismos. Así:
* Para el caso de un plano bidimensional: MAB x1+x22 ; y1+y22
* Para es caso de un espacio tridimensional: MAB x1+x22 ; y1+y22 ; z1+z22
Por ejemplo:
* Sean los puntos A 4,23,-3; B -1,-13,3-2, hallar las coordenadas del punto medio.
Las coordenadas del punto medio vienen dadas por laexpresión:
MAB x1+x22 ; y1+y22 ; z1+z22 así que MAB 4-12;23-132;-3+3-22 el punto medio es MAB32;16;-1
La Ecuación de la Recta en el Espacio.
Como recordaras, existen condiciones mínimas para determinar la ecuación de la recta en un plano bidimensional: por dos puntos pasa una y una sola recta.
Así que al conocer los puntos; podemos hallar su pendiente: m=y2-y1x2-x1
Y su ecuación: y – y1 = m(x –x1)
Para el caso de una recta en el espacio, es necesario conocer un punto y el vector dirección (vector paralelo a la recta).
Sea M una recta en el espacio que pasa por el punto P (x0,y0,z0) y es paralela al vector a(a1,a2,a3), la ecuación de la recta viene dada por la expresión: x-x1a1=y-y1a2=z-z1a3 que representa la ecuación cartesiana. |

Por Ejemplo:
* Hallar la ecuación de larecta que pasa por el punto P (-1,2,3) y es paralela al vector a (3,-3,-2) Utilizando la expresión: x-x1a1=y-y1a2=z-z1a3, hallamos la ecuación de la recta : x+13=y-2-3=z-3-2
* Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(-1,3,0) y Q(-2,2,-1)

Hallamos las coordenadas del vector director, recordando que las componentes de dicho vector vienen dadas por la expresión:a(b1-a1;b1-a2;b3-a3)

Así: a (-3;-1;-1), luego, utilizando la expresión : x-x1a1=y-y1a2=z-z1a3
Hallamos la ecuación de la recta: x-13=y-3-1=z-1

Ecuación paramétrica de una recta en el espacio
Sea la recta x-x1a1=y-y1a2=z-z1a3, si asociamos cada término de la igualdad a una constante que denominamos parámetro, así:
Para la variable X : x-x1a1 = t , donde : x = x1 + a1t
Para la variable Y :y-y1a2 = t , donde : y = y1 + a2t
Para la variable Z : z-z1a3 = t , donde : z = z1 + a3t
Entonces: x = x1 + a1t , y = y1 + a2t , z = z1 + a3t representa la ecuación de la recta en la forma paramétrica.
Por ejemplo:
* Hallar la ecuación de la recta en forma paramétrica, subiendo que pasa por el punto P(2,-1,4) y es paralela al vector a(-1,2,-1)

Aplicamosla expresión para cada variable: x = 2 –t , y = -1 + 2t y z = a –t
* Dada la ecu + 2 = acción paramétrica anterior, hallar la ecuación canónica:

Despejamos el parámetro e igualamos: t = 2 – x , t = y+12 , t = 4 – z
Es decir: -x + 2 = y+12 = -z + 4 o lo que es lo mismo: x-2-1= y+12= z-4-1
Donde P (2,-1,4) y a (-1,2,-1)
Los cosenos directores de una recta en el espacio.

Ladirección de una recta en el espacio viene dada por el ángulo que forma la misma con los ejes coordenados. Dichos ángulos reciben el nombre de ángulos directores.
La dirección de la recta L viene dada por lo cosenos directores determinados por un par de la recta P(x1 , y1 , z1) y Q(x2 , y2 , z2) en la dirección PQ.

Así: cos α= x2-x1dP1P2;cosβ= y2-y1dP1P2 ;cosγ= Z2-Z1dP1P2 ; donde dp1p2 es...