geometria inversiva

Geometr´ Inversiva*
ıa
Agust´ Revent´s Tarrida
ı
o

Resumen
Presentamos una de estas herramientas tan potentes de que dispone la matem´tica, que nos permiten resolver problemas que, sin ellas,
a
ser´an muy dif´ciles. Con las inversiones resolveremos el ‘porisma’ de
ı
ı
Steiner y el problema de Apolonio. Adem´s veremos que las inversioa
nes est´n presentes en muchos sitios, a menudode una manera ina
justamente olvidada, como por ejemplo en variable compleja, c´nicas,
o
geometr´a proyectiva, etc.
ı

1.

Introducci´n
o

La carrera de Matem´ticas es parecida al aprendizaje de un oficio.
a
Pongamos por ejemplo un carpintero. Antes de realizar un trabajo, el
carpintero debe reflexionar y planificar lo que debe hacer y pensar en la
mejor manera de hacerlo. Peroposteriormente, en la fase de ejecuci´n,
o
necesitar´ herramientas adecuadas que le ayuden en la realizaci´n del
a
o
proyecto, como grandes sierras, etc. En matem´ticas pasa algo similar,
a
hay una parte te´rica de reflexi´n y planificaci´n pero posteriormente
o
o
o
hemos de usar herramientas poderosas, y para ello, evidentemente,
primero hay que conocerlas. Durante la carrera de Matem´ticas senos
a
ense˜ an diversas de estas herramientas, como por ejemplo, t´cnicas de
n
e
integraci´n y derivaci´n, combinatoria, c´lculo matricial, etc.
o
o
a
En este art´
ıculo presentamos una de estas herramientas: las inversiones. Intentaremos destacar su gran utilidad as´ como su presencia,
ı
a veces oculta, en diversas partes de la matem´tica. Despu´s de unas
a
e
secciones dedicadas arecordar definiciones y propiedades m´s notables,
a
secciones 2 y 3, veremos su relaci´n con la geometr´ proyectiva y las
o
ıa
c´nicas en las secciones 4 y 5.
o
*

Conferencia pronunciada el 6.2.02 en el marco de las “Trobades UAB - Secund`ria”,
a
organizadas por Gregori Guasp Balaguer, a quien agradezco la invitaci´n. Agradezco tamo
bi´n a Gil Solanes Farr´s, que particip´ en laconferencia con proyecciones de dibujos con
e
e
o
Sketchpad, y a Eduardo Gallego G´mez, su colaboraci´n en la preparaci´n de estas notas.
o
o
o

1

Las inversiones nos permiten hablar de una distancia ‘natural’ entre circunferencias, secciones 8 y 9. Es decir que podremos pensar cada
circunferencia como un punto de un cierto espacio en el que hay una
distancia, que ser´ justamentehiperb´lica! Esto lo haremos en la seca
o
ci´n 13.
o
Consideraremos adem´s problemas, como el de Apolonio en la seca
ci´n 11, muy famosos y complicados en su d´ del que se dieron deo
ıa,
mostraciones realmente brillantes (la de Gergonne se puede encontrar
por ejemplo en [8]) que, exagerado un poco, se resuelven f´cilmente con
a
un par de inversiones. Veremos que esto sucede tambi´n en el llamadoe
porisma de Steiner, en la secci´n 10.
o
En problemas de construcciones geom´tricas como los anteriores sue
cede a menudo que el m´todo anal´
e
ıtico (el que utiliza coordenadas en
el plano, introducido independientemente por Descartes y Fermat), imprescindible y tan potente en multitud de ocasiones, se complica mucho
o esconde el porqu´ de las cosas detr´s de c´lculos mas o menoscomplie
a
a
cados. No queremos ser tan radicales como J. Steiner, que despreciaba
el m´todo anal´
e
ıtico, pero s´ queremos hacer propaganda a favor del
ı
m´todo sint´tico, basado en razonamientos puramente geom´tricos, por
e
e
e
su poder y belleza y porque normalmente ense˜ a el porqu´ profundo
n
e
de las cosas.
La importancia de las inversiones en el marco de la geometr´ euıa
clidianaqueda superado por la importancia de ´stas en el marco de
e
la geometr´ hiperb´lica. En efecto, en este caso las inversiones son ni
ıa
o
mas ni menos que los movimientos!. Tal vez sea por este motivo que
el tema de las inversiones resurge actualmente debido al inter´s por la
e
geometr´ hiperb´lica en la geometr´ actual; sobre todo a partir de
ıa
o
ıa
los trabajos de W. P. Thurston,...