Geometria La Recta

Mett ®

GEOMETRIA ANALITICA

Mett ®

Cap´ ıtulo 8

La Recta
8.1. Definici´n o

Se llama recta al lugar geom´trico de los puntos P (x, y) de un plano, tales que e para todo par de puntos P1 y P2 de ella, las pendientes de P P1 , P P2 y P1 P2 son iguales. Ecuaci´n o La igualdad de pendientes implica y − y1 y − y2 y2 − y1 = = = m, x1 = x2 x − x1 x − x2 x2 − x1 (1)

8.2.

Ecuaci´npunto pendiente o

De (1) se obtiene: y − y1 = m(x − x1 ), (2)

conocida como la ecuaci´n de una recta que pasa por un punto dado P1 (x1 , y1 ) o y pendiente m conocida.

8.3.

Ecuaci´n que pasa por dos puntos o
y2 − y1 (x − x1 ) x2 − x1 205

En tanto (1) o bien de aqu´ se obtiene: ı y − y1 = (3)

Mett ®

Luis Zegarra.

Secciones 6-7-8-9 206

que representan a la ecuaci´n de unarecta que pasa por dos puntos P1 (x1 , y1 ) y o P2 (x2 , y2 ) dados. Note que si x1 = x2 la recta es paralela o coincidente con el eje Y , en este caso con ninguna de las tres ecuaciones anteriores podemos representar a dicha recta, esto quedar´ para m´s adelante. a a

8.4.

Diversas formas de la ecuaci´n de una recta o

Si en (3) x1 = y1 = 0 la ecuaci´n se convierte en o y = mx (4)

esta esla forma de las rectas que pasan por el origen exceptuando la ecuaci´n o del eje Y . Ahora, tambi´n de (3), obtenemos e y = mx1 + y1 − mx2 pero y1 − mx2 es un par´metro real que vamos a denotar por n, as´ a ı y = mx + n (5)

se llama ecuaci´n principal de una recta, con la cual podemos representar too dos las rectas en el plano cartesiano a excepci´n de las paralelas con el eje Y y o el eje Ymismo. Esta ecuaci´n nos indica que el coeficiente de la variable x, es o igual a la pendiente de la recta, en tanto note que ”n” es el corte que tiene dicha recta con el eje Y . Sean a y b los cortes de una recta con los ejes X e Y respect´ ıvamente con a y b no nulos la recta pasa por A(a, 0) y B(0, b) entonces por (3) b x y y − 0 = − (x − a) ⇐⇒ + = 1 a a b ecuaci´n conocida como la ecuaci´n desegmentos de una recta. o o Forma General de una recta Se llama forma general de la ecuaci´n de una recta a: o (6)

Mett ®

Luis Zegarra.

Secciones 6-7-8-9 207

Ax + By + C = 0 en que A, B y C son par´metros reales A yB no nulos a la vez. a

(7)

Se llama forma principal de una recta pues con ella podemos representar a todas las rectas en el plano cartesiano, as´ ı: I) A, B y C = 0, de(7) se obtiene y = − A C A C x− ;m = − y n = − B B B B familia de rectas que cortan en dos puntos, a los ejes coordenados. A A x, ; m = − B B familia de rectas que pasan por el origen. C B

II) A y B = 0 ∧ C = 0 de (7) =⇒ y = −

III) B y C = 0 ∧ A = 0 de (7) =⇒ By + C = 0 ⇐⇒ y = − C B familia de rectas paralelas al eje X. m = 0, n = − IV) B = 0 ∧ C = A = 0, de (7) =⇒ By = 0 ⇐⇒ y = 0 m=0yn=0 y= 0 es la ecuaci´n del eje X. o V) A y C = 0 ∧ B = 0 de (7) =⇒ Ax + C = 0 ⇐⇒ x = − C A familia de rectas paralelas al eje Y . m indefinida, p = − VI) A = 0 ∧ B = C = 0 de (7) =⇒ Ax = 0 ⇐⇒ x = 0 m indefinida p = 0 x = 0 es la ecuaci´n del eje Y . o

C =p A

Mett ®

Luis Zegarra.

Secciones 6-7-8-9 208

8.5.

Ecuaci´n Normal o

La forma normal de la ecuaci´n de una recta es o x cosα +y sen α = d (8)

donde d > 0, num´ricamente igual a la longitud de la normal trazada desde el e origen a la recta y α es el ´ngulo positivo (0◦ < α < 360◦ ) medido a partir de la a parte positiva del eje X, a la normal. (ver figura) Recordemos que si a y b son los cortes que tiene dicha recta con los ejes X e Y , su ecuaci´n esta dada por o x y d d + = 1, a = ∧ b= a b cos α sen α de aqu´ seobtiene: x cos α + y sen α = d. ı Si la recta esta dada en su forma general por Ax + By + C = 0 y su forma normal x cos α + y sen α − d = 0 como ambas representan la misma recta se debe tener: cos α = kA; sen α = kB de aqu´ ı 1 A B C √ , as´ √ ı x+ √ y+ √ = 0 (8) ± A2 + B 2 ± A2 + B 2 ± A2 + B 2 ± A2 + B 2 √ d > 0 =⇒ k ∧ C deben ser de signos diferentes, por tanto C y ± A2 + b2 deben ser de signos...