Geometria plana y del espacio

Facultad de Ingeniería

Curso de Nivelación

MATERIAL DE APOYO: MATEMÁTICA II

CURSO DE NIVELACIÓN

MATEMÁTICA II

Prof. Ing. Héctor Amílcar Rojas Sanabria

DICIEMBRE - 2007

“Tradición y Excelencia en la formación de Ingenieros” Página 333

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FUNDAMENTOS
Proposición es toda oración respecto decuyo significado puede decirse que es verdadera (V) o falsa (F). Un proposición se designará con una letra minúscula, por ejemplo p, q, etc. A partir de una proposición simple pueden generarse otras, simples o compuestas. Conectivos lógicos: Conectivo ¬ ∧ ∨ ⇒ ⇔ Operación Negación Conjunción Disyunción Implicación Doble implicación Significado no p pyq poq p implica q p si y sólo si q

Tablas devalores de verdad de operaciones proposicionales: Negación. (Es una operación proposicional unaria) p V F Conjunción. p V V F F Disyunción. p V V F F q V F V F p∨q V V V F q V F V F p∧q V F F F ¬p F V

“Tradición y Excelencia en la formación de Ingenieros” Página 334

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FUNDAMENTOS
Implicación o condicional. P VV F F Obsérvese que p ⇒ q es V en tres casos: En uno solo de ellos, p es V. Así: SI p ⇒ q es V, es suficiente (no necesario) que p sea V para que q lo sea. Se dice: “p es condición suficiente para q”. Si p es F, nada puede afirmarse de q, pero, para que p sea V es necesario (no suficiente), que q lo sea. Se dice: “q es condición necesaria para p”. Doble implicación o bicondicional. P V V F F Q VF V F p⇔q V F F V q V F V F p⇒q V F V V

Nótese p ⇔ q es verdadero solo si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. Obs.: Si consideramos tabla siguiente p V V F F q V F V F p⇒q V F V V q⇒p V V F V (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) V F F V

Nótese que (p ⇔ q) = (p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ p) Se dice “p es condición necesaria y suficiente para q” y viceversa. Ambas proposiciones son equivalentes.

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FUNDAMENTOS
Leyes lógicas o tautologías Ley Involución Idempotencia Expresión ¬(¬p) ≡ p (p ∧ p) ⇔ p (p ∨ p) ⇔ p (p ∧ q) ⇔ (q ∧ p) (p ∨ q) ⇔ (q ∨ p) (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r) p∧(q∨r) ⇔ (p∧q) ∨ (p∧r) p∨(q∧r) ⇔ (p∨q) ∧ (p∨r) ¬(p ∧q) ⇔ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q

Conmutatividad

Asociatividad

Distributividad

Leyes de De Morgan Implicaciones asociadas.

Al condicional p ⇒ q, llamado directo, donde p es el antecedente y q el consecuente, se le asocian: q⇒ p Llamado recíproco. ¬p ⇒ ¬q Llamado contrario. ¬q ⇒ ¬p Recíproco del contrario, llamado contra recíproco. Las cuatro implicaciones se dicen conjugadas, ycualquiera de ellas puede tomarse como directa. Vinculación entre proposiciones conjugadas p⇒q Proposiciones Contrarias ¬p ⇒ ¬q Proposiciones Recíprocas Proposiciones Contra Recíprocas Proposiciones Recíprocas q⇒p Proposiciones Contrarias ¬q ⇒ ¬p

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Obs.: Si consideramos la tabla siguiente p V V F F q V F V F p⇒q V F V V ¬q F V F V ¬p F F V V ¬q ⇒ ¬p V F V V

Nótese que: (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p), Así mismo : (q ⇒ p) ⇔ (¬p ⇒ ¬q) Se tienen que las implicaciones contrarrecíprocas son equivalentes, es decir, si la implicación directa es V, también los es la contrarrecíproca. Entonces, verificada que una implicación es V, nada puedeafirmarse de la verdad de la recíproca o de la contraria. Pero si son verdaderas una implicación y su recíproca o su contraria, son verdaderas las cuatro y las proposiciones antecedente y consecuente se dice que son equivalentes. Un razonamiento es un par ordenado ({pi} ; q), siendo {pi} un conjunto finito de proposiciones, llamadas premisas y q una proposición, llamada conclusión, respecto de la...