Geometria

OLIMPIADA MEXICANA DE MATEMÁTICAS Delegación Querétaro GEOMETRÍA
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO Mediana: En un triángulo, los segmentos que van de un vértice al punto medio del lado opuesto se llaman medianas. Bisectriz: Es la bisectriz (línea recta que corta en dos ángulos congruentes) de un ángulo interior de un triángulo. Mediatriz: La mediatriz de un segmento AB es la línea recta quepasa perpendicularmente por su punto medio. Altura: Línea recta que une perpendicularmente un vértice con el lado opuesto o su prolongación.

Son tres y se cortan en el baricentro, gravicentro o centroide.

Son tres y se cortan en el incentro (centro de la circunferencia que es tangente a los tres lados del triángulo).

En un triángulo hay tres y se cortan en el circuncentro (centro de lacircunferencia que pasa por los tres vértices).

Son tres y se cortan en el ortocentro.

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Dados dos triángulos ABC y A’B’C’ son congruentes si y sólo si ocurren las seis igualdades siguientes:

Criterios de congruencia Para que dos triángulos sean congruentes es suficiente que cumplan una de las siguientes tres condiciones: Ángulo-Lado-Ángulo (ALA): Tienen dosángulos congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente. Lado-Ángulo-Lado (LAL): Tienen dos lados congruentes y el ángulo comprendido entre ellos congruente. Lado-Lado-Lado (LLL): Tienen los tres lados congruentes.

TEOREMA: Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces forman ángulos alternos internos congruentes; y viceversa, si en dos rectas cortadas por unatransversal los ángulos alternos internos son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

Abril 2011

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TEOREMA FUNDAMENTAL DE PROPORCIONALIDAD: Si dos o más rectas son cortadas por dos transversales, entonces los segmentos que éstos determinan son proporcionales; y si dos o más rectas cortadas por dos transversales forman segmentosproporcionales y además dos de las rectas son paralelas, entonces todas las rectas son paralelas entre sí.

OR PQ  RS QT

Semejanza Dados dos triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes si y sólo si ocurren todas las igualdades siguientes:
B

B'

A

C

A'

C'

Criterios de semejanza Dados dos triángulos, son semejantes si cumplen con alguna de las siguientes condiciones:Lado-Ángulo-Lado (LAL): Tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos congruente. Lado-Lado-Lado (LLL): Tienen los tres lados proporcionales. Ángulo-Ángulo (AA): Tienen dos ángulos congruentes.

TEOREMAS IMPORTANTES     En todo triángulo, las medianas se cortan en proporción 1:2. En un triángulo, los puntos medios de dos lados, forman un segmento paralelo al tercer lado e igual a lamitad de este. La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos tales que equidistan a dos puntos dados. Los puntos son los extremos del segmento. La bisectriz es el lugar geométrico de los puntos tales que equidistan a dos rectas dadas. Las rectas de que habla son las que forman los lados del ángulo.

EJEMPLOS RESUELTOS

1. En la figura se tiene

Demostrar

.

Se tienepor hipótesis que Entonces por criterio LAL, se tiene que que es lo que se quería demostrar.

, entonces

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2. En la figura, se tiene que Como suplementarios. Además, al ser con Luego, como . Por lo anterior quería demostrar. Demostrar que , entonces es isósceles. por ser ángulos es isósceles,

entonces eltriángulo

, entonces por criterio de congruencia LAL . Entonces es isósceles, que es lo que se

3. P es cualquier punto del interior de un triángulo ABC. Sean A’, B’ y C’ los puntos medios de los segmentos PA, PB y PC respectivamente. Demuestra que ABC y A’B’C’ son semejantes en razón 1:2. Sea ABC un triángulo y P un punto en el interior del mismo. A’, B’ y C’ los puntos medios de PA, PB y PC...