Geometria

Tópicos de Geometría Analítica.
10 12 2009

Tema 25. Parábolas con vértice fuera del origen.

A diferencia de las Parábolas con Vértice en el Origen las cuales solo pueden abrirse hacia cuatro lados (por lo menos las más simples), desde el punto de origen de cualquier sistema coordenado cartesiano, el resto de parábolas pueden estar colocadas en cualquier lugar del mismo, pero igual que lasotras se abren hacia cuatro lados (arriba, abajo, derecha e izquierda), a estas últimas se les designa con el nombre de Parábolas con Vértice Fuera del Origen.

Don René Descartes decía:

Caso 1. Si la parábola se abre a la derecha se relaciona con la ecuación:

(y-k)2= 4p(x-h)

Caso 2. Si la parábola se abre a la izquierda se relaciona con la ecuación:

(y-k)2= – 4p(x-h)

Caso 3. Sila parábola se abre hacia arriba se relaciona con la ecuación:

(x-h)2= 4p(y-k)

Caso 4. Si la parábola se abre hacia abajo se relaciona con la ecuación:

(x-h)2= – 4p(y-k)

Esta vez será solo teoría. Resolvamos un problema…

Sea la ecuación: (y-3)2= – 8(x+2) ¿Qué datos puedes obtener con solo analizar la ecuación?

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4 12 2009

Tema 24. Distancia entre dos rectas paralelas.

Si alguien te preguntara ¿Cuál es la distancia existente entre el par de rieles de la vía del ferrocarril? Lo más probable es que la obtendrías midiendo con una cinta de un riel a otro formando una perpendicular entre ambos, lo cual está bien, solo que esa esla antigua geometría de Euclides, la cuestión es: ¿cómo hacer lo mismo aplicando la geometría moderna de R. Descartes que ya sabemos que es más exacta y no requiere reglas escuadras ni compaces?

Te diré tres formas de hacerlo aplicando la Geometría Analítica.

Si ya sabes calcular la distancia de un punto a una recta te resultará sencillo determinarla entre dos rectas que son PARALELAS. Veamosun problema.

Hallar la distancia entre las rectas:

1) y=2x+1; 2) y=2x-4

Solución…

Puesto que ambas rectas están expresadas de la forma: y=mx+b es fácil determinar su pendiente (m), que en este caso es 2 Para que sean paralelas recuerda que su pendiente debe ser igual (coeficiente de x).

De lo anterior deducimos que una recta PERPENDICULAR a las otras dos tendría una pendiente: m =-1/2

Un punto de una de las dos rectas, por ejemplo de: y=2x+1 sería:

Si x=1; entonces: y=(2)(1)+1=2+1=3; por lo tanto las coordenadas de uno de sus puntos son: P(1, 3)

Entonces si ya conocemos las coordenadas de un punto P(1, 3) y ya tenemos la ecuación de la otra recta: y=2x-4 que es PARALELA podemos aplicar la fórmula de Descartes para calcular la distancia entre un punto y una recta,solo necesitamos expresar la ecuación de la recta 2) en la forma general para saber cuáles son los valores: A, B y C.

Procedamos pues…

y=2x-4

-2x+y+4=0; por lo tanto: A=-2; B=1; C=4

Ahora sí, sustituyendo datos en la fórmula de Descartes…

d= |(-2)(1)+(1)(3)+4|/±√[(-2)2+(1)2]

d= |-2+3+4|/±√[4+1]

d= |5|/±√5

d= 5/±2.23

d = ± 2.24 Unidades.

Pero… qué tal si comprobamos elresultado anterior encontrando dos puntos por donde pase una perpendicular a ambas rectas y aplicamos la fórmula de la distancia entre dos puntos, también ¡Obvio! de R. Descartes.

Hagámoslo… Leer el resto de esta entrada »

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2 12 2009

Tema 23_c. Distancia de un punto a una Recta.¿Que cómo lo hizo don René Descartes?

¡Bah! Como no tenía nada más importante que hacer (debes saber que en el año 1620 (±) no había computadoras, internet para “chatear”, cine, “discos”, y demás distractores comunes de la actualidad), entonces inventó una fórmula (¡Bendito Dios!) para calcular más fácil, rápidamente y con precisión (sin reglas, escuadras ni compás) la distancia de un punto a...