geometria

REPASO DE GEOMETRÍA
MATEMÁTICAS I


Ejercicio 1. Si M1(2, 1), M2(3, 3) y M3(6, 2) son los puntos medios de los lados de un triángulo, ¿cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo?

Vectores. Producto escalar. Ejercicios
1Si M1(2, 1), M2(3, 3) y M3(6, 2) son los puntos medios de los lados de un triángulo, ¿cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo?
2Probar quelos puntos: A(1, 7), B(4,6), C(1, -3) y D(-4, 2) pertenecen a una circunferencia de centro (1, 2).
3Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(4, -3), B(3, 0) y C(0, 1).
4Normalizar los siguientes vectores: = (1, ), = (-4, 3) y = (8. -8).
5Hallar k si el ángulo que forma = (3, k) con = (2, -1) vale:
1 90°
2 0°
3 45°
6Calcula la proyección del vector sobre el , siendo A(6,0),B(3,5), C(-1,-1).
7Comprobar que el segmento de une los puntos medios de los lados AB y AC del triángulo: A(3,5), B(-2,0), C(0,-3), es paralelo al lado BC e igual a su mitad.
8Calcular los ángulos del triángulo de vértices: A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).


Vectores. Producto escalar. Ejercicios resueltos
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Probar que los puntos: A(1, 7), B(4,6) y C(1, -3) pertenecen a una circunferencia de centro(1, 2).
Si O es el centro de la circunferencia las distancias de O a A, B, C y D deben ser iguales





Vectores. Producto escalar. Ejercicios resueltos
3
Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(4, -3), B(3, 0) y C(0, 1).




Si:






Vectores. Producto escalar. Ejercicios resueltos
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Normalizar los siguientes vectores: = (1, ), = (-4, 3) y = (8. -8).Vectores. Producto escalar. Ejercicios resueltos
5

Hallar k si el ángulo que forma = (3, k) con = (2, -1) vale:
1 90°


2 0°



3 45°




Vectores. Producto escalar. Ejercicios resueltos
6

Calcula la proyección del vector sobre el , siendo A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).





Vectores. Producto escalar. Ejercicios resueltos
7

Comprobar que el segmento de une los puntosmedios de los lados AB y AC del triángulo: A(3,5), B(-2,0), C(0,-3), es paralelo al lado BC e igual a su mitad.















Vectores. Producto escalar. Ejercicios resueltos
8

Calcular los ángulos del triángulo de vértices: A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).













Vectores. Producto escalar. Ejercicios resueltos
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Dados los vectores = (1, 4), = (1, 3) queconstituyen una base. Expresar en esta base el vector = (−1. −1).
(−1. −1) = a (1, 4) + b (1, 3)
−1 = a +b a = −1 −b a= 2
−1 = 4a +3b −1 = 4( −1 −b) +3b b = −3
= 2 − 3

Vectores. Producto escalar. Ejercicios resueltos
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Calcular el valor de a para que los vectores = 3 + 4 formen un ángulo de 45°.





Ejercicio 2. Probar que los puntos: A(1, 7), B(4,6), C(1, -3) y D(-4, 2) pertenecen auna circunferencia de centro (1, 2).
Ejercicio 3. Hallar k si el ángulo que forma = (3, k) con = (2, -1) vale: a) 90° b) 0º c) 45°

Ejercicio 4. Comprobar que el segmento de une los puntos medios de los lados AB y AC del triángulo: A(3,5), B(-2,0), C(0,-3), es paralelo al lado BC e igual a su mitad.

Ejercicio 5. Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(-1, -2),B(4, -1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.
Ejercicio 6. Dados los vectores =(2, k) y = (3, - 2), calcula k para que los vectores y sean: a) Perpendiculares. b) Paralelos. c) Formen un ángulo de 60°.
Ejercicio 7. Hallar un vector unitario de la misma dirección del vector .

Ejercicio 8. Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3x + 2y - 7 = 0.

Ejercicio 9. Estudiar laposición relativa de las rectas de ecuaciones:
1. 2x + 3y - 4 =0
2. x - 2y + 1= 0
3. 3x - 2y -9 = 0
4. 4x + 6y - 8 = 0
5. 2x - 4y - 6 = 0
6. 2x + 3y + 9 = 0

Ejercicio 10. Hallar la ecuación de la recta r, que pasa por A(1,5), y es paralela a la recta s ≡ 2x + y + 2 = 0.
Ejercicio nº 11.-
Averigua si estas dos rectas son perpendiculares. Si no lo fueran, halla el ángulo que forman:...