Geometria

La Geometría (del latín geometrĭa, que proviene del idioma griego γεωμετρία, geo tierra y metria medida), es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, politopos (incluyendo paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.).
Es la base teórica de lageometría descriptiva o del dibujo técnico. También da fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales).
Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su aplicación práctica enfísica aplicada, mecánica, arquitectura, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de artesanías.
La geometría es, junto a la teoría de números, una de las ramas más antiguas
de la matemática. Si por un momento restringimos el término para referirnos
a lo que los antiguos griegos entendían como tal, podemos decir quesu objeto
de estudio ésta ´íntimamente arraigado en nuestra forma de concebir la realidad.
Toda la información que recibimos del mundo que nos rodea, todo lo que vemos,
oímos y tocamos, lo procesamos en primera instancia en términos geométricos.
Sin embargo, no podemos considerar a las leyes formales que rigen el espacio
tridimensional que percibimos como una parte de la física. Al contrario quelas leyes f´ısicas, las leyes de la geometría nos son dadas a priori, en cuanto que
ninguna experiencia puede confirmar o refutar ninguna de ellas. Por ejemplo,
podemos asegurar a priori que es imposible percibir una recta que posea dos
paralelas por un mismo punto.1 Nuestra intuici´on geom´etrica nos permite decidir
inmediatamente la verdad o falsedad de un gran n´umero de afirmaciones.
A su vez,de todas ellas se sigue mediante razonamientos l´ogicos un cuerpo
de teoremas no menos numeroso que, si nuestra intuici´on no alcanza a validar
directamente, al menos los corrobora en instancias particulares.
Los antiguos griegos exploraron en profundidad este cuerpo de teoremas y
llegaron a comprender en gran medida su estructura l´ogica. Tanto es as´ı que
en sus exposiciones m´as elaboradas, elmodelo de las cuales son, sin duda, los
Elementos de Euclides, no s´olo se demuestran con un gran sentido del rigor todos
los hechos no evidentes, sino que incluso los que cualquiera dar´ıa tranquilamente
por obvios son demostrados a partir del m´ınimo n´umero de principios a los que
el autor pudo reducirlos.
Fermat y Descartes descubrieron que la geometría como teor´ıa l´ogica es equivalente
auna estructura algebraica, esencialmente al espacio vectorial R3, en el
sentido de que los puntos, rectas, planos, circunferencias, etc. pueden ser identificados
con ciertos subconjuntos de R3 de modo que los teoremas geom´etricos
sobre estos conceptos se corresponden con los teoremas algebraicos sobre sus
conjuntos asociados. As´ı surgi´o la llamada geometría anal´ıtica y con ella la
clave parauna comprensi´on mucho m´as profunda de la geometría en general.
El ´algebra es especialmente dada a encontrar principios profundos, poco evidentes
por s´ı mismos pero enormemente iluminadores. El que una determinada
afirmaci´on se nos aparezca o no como evidente es una cuesti´on psicol´ogica sin
1Por supuesto, salvo que pervirtamos el significado de la palabra “recta” y lo confundamos,
por ejemplo,con un concepto f´ısico como pueda ser el de “trayectoria de un rayo de luz”.
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x Introducci´on
ning´un significado matem´atico, por lo que la geometría axiomática al estilo de
Euclides se considera hoy, con raz´on, como algo superado. El tratamiento algebraico
de la geometría, aparte de ser l´ogicamente m´as simple, nos abre las
puertas de “otras geometrías”, es decir, de otras teor´ıas...