geometria

Ejercicios: Vectores y cinem´tica
a
Preparado por:
Mart´ Villegas
ın

Profesor:
Ing. Pablo Andrade

Escuela Polit´cnica del Ej´rcito
e
e

5 de junio de 2013

1. Dos vectores est´n separados 90m uno delante del otro y se mueven sobre un pista hoa
rizontal. Parten del reposo en el mismo sentido y en el mismo instante, el primero con
m
m
una aceleraci´n de (5i) s2 y el segundocon una aceleraci´n de (7i) s2 . Determinar al cao
o
bo de cuanto tiempo el segundo alcanza al primero y cual fue el desplazamiento de ellos.

90m

A
aA

a.- tA = tB = t

B
aB

b.- ∆A = 1 aA · t2
2

eA − 90m = eB

∆A =

V0A t + 1 aA t2 − 90 = VoB + 1 aB t2
2
2

∆A = 1314.54i m

m
1
(7i s2 )t2
2

m
− 90m = 1 (5i s2 )t2
2

1
2

m
· 7i · 9.48i s2

∆B = 1 aB ·t2
2

3.5t2 − 90 = 2.5t2
√

t2 =

∆B =

√
90

1
2

m
· 5i · 9.48i s2

∆B = (224.67i)m
t = 9.48s
2. Un m´vil se desplaza siguiendo un trayectoria recta a partir del reposo; durante 10
o
m
segundos se mueve con una a1 = (3i + 2j) s2 , luego se mueve 3 minutos con velocidad
m
constante y posteriormente frena con a2 = (−4.15i − 2.75j) s2 , hasta detenerse.
Determinar:
a) Ladistancia total recorrida
b) El desplazamiento total realizado
c) El tiempo total empleado

A

∆t1 = 10s

∆t2 = 180s

∆t3 = x

B

V0 = 0

a1

a=0

a2

Vf = 0

2

Desarrollo
∆r1 = V0 t + 1 at2
2
∆r1 = 1 (3i + 2j) · 102
2

∆r2 = Vf · t
∆r2 = (30i + 20j) · 180

V0 = 0

∆r1 = (150i + 100j)m

∆r2 = (5400i + 3600j)m

/∆r1 / = 180.27m

/∆r2 / = 6490m

Vf = V0+ at

t=

/Vf /−/Vo /
−/a/

Vf = 0 + (3i + 2j)10

t=

/Vo /
/a/

Vf = (30i + 20j) m
s

t=

36.05
4.97

t = 7.25s

∆r3 = (30i + 20j) · 7.25 + 1 (−4.25i − 2.75j) · 7.252
2
∆r3 = (217.5i + 145j) + (−109, 06i − 72.27j)
∆r3 = (108.44i + 72.73j)m
/∆r3 / = 130.57m

3

/Vf / = 0

a.- /∆rT / = /∆r1 / + /∆r2 / + /∆r3 /

∆r1 =
∆r2 =
b.∆r3 =
∆rT =

/∆rT / = 180.27 +6490 + 130.57

150 +
100
5400 +
3600
108.44i +
72.72
(5658.44 + 3772.73) m

/∆rT / = 6800.54m

c.- tT = t1 + t2 + t3
tT = 10 + 180 + 7.25
tT = 197.25s

3. Se abandona un cuerpo en ca´ libre desde el reposo. Determinar su posici´n y veloıda
o
cidad al cabo de 1, 2 y 3 segundos.

1
2s.- ∆r2s = 2 gt2

1
1s.- ∆r1s = 2 gt2

∆r1s =

1
2

· (−9.8j) · 12

∆r2s =

1
2· (−9.8j) · 22

∆r1s = (−4.9j) m
s

∆r2s = (−19.6j) m
s

Vf 1s = gt

Vf 2s = gt

Vf 1s = (−9.8j) · 1

Vf 2s = (−9.8j) · 2

Vf 1s = (−9.8j) m
s

Vf 2s = (−19.6j) m
s

4

1
3s.- ∆r3s = 2 gt2

∆r3s =

1
2

· (−9.8j) · 32

∆r3s = (−44.1j) m
s
Vf 3s = gt
Vf 3s = (−9.8j) · 3
Vf 3s = (−29.4j) m
s

4. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde lo altode una torre de 20m de
altura con una rapidez de 15 m .
s
Determinar:
a) La rapidez y la altura sobre el suelo para cualquier tiempo X.
b) La m´xima altura alcanzada por la pelota y el valor correspondiente de t.
a
c) El tiempo en que la pelota llega al suelo y la velocidad correspondiente.
d) Dibujar los gr´ficos de velocidad vs tiempo y posici´n vs tiempo.
a
o

/V
0/

hmax

h

5a.- /Vf / = /V0 / − /g/t

b.- hmax =

/Vo /2
2g
152
2·9.8

/Vf / = 15 − 9.8t

hmax =

/rf / = /V o/t − 1 /g/t2 + 20m
2

hmax = 11.47m

/rf / = 15t − 4.9t2 + 20m

/Vf / = /V0 / + /g/ts
ts =

/V0 /
/g/

ts =

15
9.8

ts = 1.53s
c.- hT =hmax +hE df
∴
tb =

tb =

2hT
/g/

2(11.47+20)
9.8

tb = 2.53s
∴ tT = ts + tb
tT = 1.53 + 2.53
tT = 4.06s

/Vf /= /g/t
/Vf / = (−9.8j) · 2.53
/Vf / = (−24.79j) m
s

6

/Vf / = 0

/rf / = 15t − 4.9t2 + 20

d.- /Vf / = 15 − 9.8t
t
0
1.53
1

t
/rf /
0
20
1
30.6
1.53 31.48
2
30.4
4.06 0.13

v
15
0
5.2

v( m )
s

/rf /(m)
15

30

10

5

20

t(s)
0.5

1

1.5

10

t(s)
1

7

2

3

4

5. Se dispara un proyectil desde la cima de una colina de...