geometria

Tema 12: Geometría en el Espacio

2º BAC CNA-TEC

GEOMETRÍA EN EL ESPACIO
1. LOS VECTORES EN EL ESPACIO
1.1.

EL CONJUNTO  3
El conjunto de los números reales comprende a los naturales, enteros, racionales e irracionales.
Vamos a formar el conjunto      , que representaremos por  3 .
El conjunto  3 está formado por todas las ternas de números reales:


1

 3        , 0 , 0 , 0 ,  3 , 1 , 2 ,  ,  5 ,  1  , 
2



 Una terna cualquiera de  3 lo designamos por  x , y , z  .
Operaciones en  3 .
En el conjunto de las ternas de números reales  3 , definimos dos operaciones del siguiente
modo:
Suma en  3 :
 x , y , z    x´ , y´ , z´    x  x´ , y  y´ , z  z´ 
Producto de un número real por una terna de  3 :
a  x , y , z   a  x , a  y , a  z 

1.2.

LOS VECTORES FIJOS EN EL ESPACIO
El estudio de la geometría se simplifica mucho con el conocimiento profundo del cálculo vectorial.
Un vector fijo AB es un segmento orientado que tiene
su origen en el punto A y su extremo en el punto B.
Si en un vector su origen y su extremo coinciden, se dice que es el vector fijo nulo. Son vectores
nulos AA, BB , CC , 
Al conjunto de los vectores fijos del espacio lo designaremos por F 3 .
 Módulo del vector fijo AB es la longitud del segmento AB .
El módulo del vector AB se representa por AB
 Dirección del vector fijo AB es la dirección de la recta que pasa por A y B. Dos vectores
fijos no nulos tienen la misma dirección si se encuentran en rectas paralelas.
 Sentido del vector fijo AB esel del recorrido de la recta cuando nos trasladamos de A a B.
Observar que en cada dirección hay dos sentidos, el que va de A hacia B y el que va de B hacia A.
Sean dos vectores fijos AB y CD no nulos de la misma dirección:
Los vectores nulos tienen el módulo igual a cero y admitiremos que tienen la misma dirección y
sentido.
Dos vectores en el espacio se dice que son equipolentes cuandotienen el mismo módulo, la misma
dirección y el mismo sentido.

1

Tema 12: Geometría en el Espacio

2º BAC CNA-TEC

1.3. LOS VECTORES LIBRES EN EL ESPACIO.
Si elegimos un vector fijo cualquiera, por ejemplo AB , y consideramos todos los vectores fijos que son
equipolentes al AB y los agrupamos, hemos formado una clase determinada por el vector AB .
Procediendo del mismo modo con todoslos vectores fijos obtenemos una clasificación del conjunto F 3 .
Vector libre es cada una de las clases en que queda clasificado el
conjunto F 3 mediante la relación de equipolencia.

 

Un vector libre se designa AB o por su representante AB , o
simplemente con una letra minúscula, por ejemplo, u .
Al conjunto de todos los vectores libres del plano lo designaremos por V 3 .
Módulo,dirección y sentido de un vector libre.
Por ser equipolentes entre sí los vectores fijos que determinan un vector libre, todos tienen el mismo módulo,
dirección y sentido.
Se llama módulo, dirección y sentido de un vector libre no nulo al
módulo, dirección y sentido de uno cualquiera de sus representantes.
Propiedad fundamental de los vectores libres.
Al contrario que los vectores fijos delespacio, en los que su origen y su extremo son siempre puntos fijos del
espacio, los vectores libres (como su nombre indica) se pueden aplicar “libremente” en cualquier punto del
espacio que se desee, con la única condición de no alterar su módulo, dirección y sentido.
Esta es la propiedad más importante de los vectores libres, que enunciaremos así:

 

Si AB es un vector libre del espacio yO un punto cualquiera del
espacio, existe un único representante de este vector que tiene su
origen en el punto O.
1.4. OPERACIONES CON VECTORES LIBRES
En el conjunto de los vectores libres del espacio V 3 vamos a definir las dos operaciones siguientes:
Suma de vectores libres
Dados dos vectores libres a y b del espacio, se llama suma de
al vector libre que se obtiene del siguiente modo:...