geometria


Republica bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
I.U.P. Santiago Mariño Extensión: Maracaibo
Cátedra: Geometría Analítica









Integrantes:Horta Giovanni
Viera York

Maracaibo; 29 de noviembre del 2013.

Elipse:
1. Definición:
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva.
Una elipse es la curvacerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.

2. Características de una elipse:
La elipse no es una curvacualquiera, tiene unas características muy específicas:
La suma de las distancias de cualquier punto (X) de la curva a los focos es constante:
XF + XF´=2·a
El semieje mayor (a) es igual a la distancia media (media aritmética) de un planeta al foco. La media de la distacia máxima y la mínima. La distancia media se da justo cuando el planeta está en P, a medio camino entre el Afelio y elPerihelio.
R1+ R2=2·a; por tanto: a=(R1+ R2)/4
El semieje menor ( b) es la media geométrica de la distancia máxima y mínima
b=raíz cuadrado.( R1·R2)
La excentricidad (e) indica lo que se aparta la elipse de una circunferencia. Si el foco está en el cruce de los ejes e=0. En general e=c/ a. ( "c" es la distancia de los focos al centro de la elipse).


3. Elementos que constituyen una elipse
Focos:Son los puntos fijos F y F'.
Eje focal:
Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario:
Es la mediatriz del segmento FF'.
Centro:
Es el punto de intersección de los ejes.
Radios vectores:
Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.
Distancia focal:
Es el segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.
Vértices:
Son los puntos deintersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.
Eje mayor:
Es el segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.
Eje menor:
Es el segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.
Ejes de simetría:
Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
Centro de simetría:
Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes desimetría.



4. Ecuación general y ordinaria de la elipse (demostración):
Si el centro de la elipse C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuación de la elipse será:



Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen el mismo signo.
Ecuación ordinaria de laelipse:

[(x-h)^2]/a^2 + [(y-k)^2]/b^2 = 1, donde:
(h,k) son las coordenadas del centro
si a > b => eje mayor paralelo al eje "x"
si a < b => eje mayor paralelo al eje "y"


5. Ejemplos de condiciones diferentes de la elipse:

Halle la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyos focos son los puntos
F(3, 0) y F’(-3, 0), además el intercepto de la gráfica con el eje x esel punto (5, 0).


Solución: 
Como la elipse corta al eje x en el punto (5, 0) se sigue que a = 5 y como c = 3 (fig. 6.5.8) se tiene que, y por tanto . 
 





De esta forma, los vértices de la elipse son los puntos V1(5, 0), V2(-5, 0), V3(0, 4) y
V4(0, -4). Además, su ecuación viene dada por: 
 
Trazar la elipse cuya ecuación viene dada por:  25x2 + 4y2 = 100 
Solución: ...