geometria

TRIGONOMETRIA:
Fue inventada hace mas de 2000 años por los griegos, quienes necesitaban métodos más precisos para medir ángulos y lados de un triangulo. Y la necesidad de medir distancias a puntos de difícil acceso, como la altura de una montaña, lo ancho de un rio, la distancia entre dos puntos lejanos, además permite mayor precisión en algunas medidas sobre todo cuando la representacióngrafica no es exacta.
Atendiendo únicamente a su raíz griega significa medida de los triángulos
Trigon (triangulo) y Metria (Medición)
“Es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones que existen entre los distintos elementos de las figuras geométricas, haciendo énfasis en los ángulos y lados de un triangulo “
ELEMENTOS DEL TRIANGULO RECTANGULO
B
Hipotenusa
Cateto a c
C b A
Cateto
∡C = 90°
∡ A ＜ 90° y › B ＜ 90°
∡A + ∡B = 90°
a = BC, es un cateto
b = AC, es un cateto
c = BA, es la hipotenusa
Recordar que los ángulos A y B son agudos por ser ambos menores de 90° y además son complementarios, ya que la suma de ambos es de 90°
FUNCIONES TRIGONOMETRÍCAS DE UN ÁNGULO AGUDO DE UN TRIANGULO RECTANGULO
“Las razones dependen del ángulo y no del tamaño del triangulo”
El valorde la razón depende o está en función del valor o de la amplitud del ángulo
Seno, Coseno, Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante
Es conveniente utilizar abreviaturas:
Sen para denotar la función seno
cos para denotar la función coseno
tan para denotar la función tangente
cot para denotar la función cotangente
sec para denotar la función secante
csc para denotar la función cosecante
Esimportante mencionar que estas funciones son referidas a cierto ángulo, por lo que es conveniente escribir la letra asociada al ángulo después de la abreviatura de la función trigonométrica que se ha considerado: Ejemplo: sen A, significa “el seno del ángulo A”
Seno (sen) es la razón que existe entre
Coseno (cos) es la razón que existe entre
Tangente (tan) es la razón que existe entreCotangente (cot) es la razón que existe entre
Secante (sec) es la razón que existe entre
Cosecante (csc) es la razón que existe entre
B
a c
C b A
Para el ángulo A Para el ángulo B
Sen A =
Cos A =
Tan A =
Cot A =
Sec A =
Csc A =
Sen B =
Cos B =
Tan B =
Cot B =
Sec B =
Csc B =
Como las longitudes de los lados de un triangulo son números positivos, los valores de lasseis funciones trigonométricas son positivas
Funciones trigonométricas reciprocas
Dos cantidades reciprocas son aquellas cuyo producto es igual a 1
A
b c
C a β
Son funciones reciprocas por que
Son funciones reciprocas porque
Son funciones reciprocas por que
Funciones trigonométrica de ángulos complementarios
Para el ángulo A Para el ángulo B
Sen A =
Cos A =
Tan A =
Cot A =Sec A =
Csc A =
Sen B =
Cos B =
Tan B =
Cot B =
Sec B =
Csc B =
La función trigonométrica de un ángulo es igual a la cofunción de su complemento
Las funciones trigonométricas se pueden agrupar en pares de la siguiente manera:
Seno y Coseno
Tangente y Cotangente
Secante y Cosecante
Ya que:
Sen α = Cos (90º-α)
Tan α = Tan (90º-α)
Sec α = Csc (90º-α)
FUNCIONES TRIGONOMETRICASDE ANGULOS NOTABLES: 30º y 60º.
Si ABC es un triangulo equilátero de dos unidades (2) por lado, cada uno de sus ángulos mide 60ºa y la altura divide al ángulo B por la mitad, esto es, 30º cada uno.
B
A´ ∡A´ = 60º
1 2 ∡B´ = 30º
2 2 ∡C´ = 90º
D´ x B´
A 1 D 1 C
Con el teorema de Pitágoras podremos calcular el valor de x en el ΔA´B´C´, que es la altura del ΔABC
A´
(A´B´)² = (A´D´)² +(D´B´)²2² = 1² + x² 1 2
4 = 1 + x²
4-1 = x²
3 = x² D´ √3 B´
x = √3
Ejercicio: Calcula las funciones trigonométricas del ángulo de 30º (∡B´) y del de 60º (∡A´)
Sen B´ 30º = Sen A ´ 60º =
Cos B´ 30º = Cos A´ 60º =
Tan B´ 30º = Tan A´ 60º =
Cot B´ 30º = Cot A´ 60º =
Sec B´ 30º = Sec A´ 60º =
Csc B´ 30º = Csc B ´ 60º =
Funciones trigonométricas de un ángulo de 45º
Se construye un...