Geometria

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HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS: EL NÚMERO e
En esta entrega de la Historia de las Matemáticas, presentamos la historia de e, un furtivo número que durante años evadió a los matemáticos.

Uno de los primeros artículos incluidos en la sección "Tópicos de historia" del archivo de historia de las matemáticas de la Universidad de Saint-Andrews fue sobre la historia de Pi. Es un artículo muypopular y ha provocado que muchos lectores pidieran un artículo similar sobre el número e. Hay un gran contraste entre los desarrollos históricos de estos dos números y, de cierta manera, escribir la historia de e es una tarea mucho más complicada que escribir la de Pi. El número e es, en comparación con Pi, un recién llegado a la escena matemática.

El número e llega por primera vez a lasmatemáticas de forma muy discreta. Sucedió en 1618 cuando, en un apéndice al trabajo de Napier sobre logaritmos, apareció una tabla dando el logaritmo natural de varios números. Sin embargo, no se reconoció que estos fueran logaritmos en base e, ya que la base sobre la que se calculan los logaritmos no surgió en la manera en la que se pensaba en los logaritmos en aquel entonces. Aunque hoy consideramosa los logaritmos como los exponentes a los que se debe elevar una base para obtener el número deseado, esta es una forma moderna de pensar. Regresaremos después a este punto. Dicha tabla en el apéndice, aunque no tiene el nombre del autor, es casi seguro que fue escrita por Oughtred. Unos años después, en 1624, e estuvo a punto de volver a la literatura matemática pero no lo logró. En ese año,Briggs dio una aproximación numérica al logaritmo base diez de e sin mencionar a e específicamente en su trabajo.

La siguiente posible aparición de e es de nuevo dudosa. En 1647, Saint-Vincent calculó el área bajo una hipérbola rectangular. Si reconoció o no la conexión con los logaritmos es debatible y, aún si lo hubiera hecho, no había realmente razón para que se encontrara explícitamente conel número e. Sin lugar a dudas, hacia 1661 Huygens comprendió la relación entre la hipérbola rectangular y el logaritmo. Examinó explícitamente la relación entre el área bajo la hipérbola rectangular yx = 1 y el logaritmo. Por supuesto, el número e es tal que el área bajo la hipérbola rectangular entre 1 y e es igual a 1. Ésta es la propiedad que hace que e sea la base de los logaritmos naturalespero los matemáticos de la época no lo entendían, aunque se estaban acercando lentamente a ello.

Huygens hizo otro avance en 1661. Definió una curva a la que llamó "logarítmica" pero no en los términos en los que nosotros nos referimos a una curva exponencial, con la forma y = kax . Nuevamente, a partir de esto sale el logaritmo base 10 de e, que Huygens calculó a 17 decimales. Sin embargo, ensu trabajo aparece como el cálculo de una constante y no es reconocida como el logaritmo de un número (cerca otra vez pero e sigue sin ser reconocido).

Hay trabajos posteriores sobre los logaritmos en los que todavía no aparece el número e como tal pero que contribuyen al desarrollo de los logaritmos. En 1668, Nicolás Mercator publicó Logarithmotechnia que contiene la expansión en serie de log(1+ x ). En este trabajo, Mercator usa el término "logaritmo natural" por primera vez para los logaritmos en base e. El número e otra vez no aparece explícitamente y continúa escondido en las cercanías.

Talvez de manera sorprendente, ya que los trabajos sobre los logaritmos habían estado tan cerca de reconocer al número e, la primera vez en que e es "descubierto" no tiene que ver con lanoción de logaritmo sino más bien en un estudio del interés compuesto. En 1683, Jacobo Bernoulli examinó el problema del interés compuesto y, durante su análisis del interés compuesto continuamente, trató de encontrar el límite de (1 + 1/n)n cuando n tiende a infinito. Usó el teorema del binomio para demostrar que el límite tenía que estar entre 2 y 3, por lo que podríamos considerar que esta es la...