Geometria

 Geometría Métrica Plana
Ejercicios Resueltos –

1. Dada la ecuación de la recta:
Halla un vector director de la recta y un punto por el que pasa.
Expresa la ecuación en forma general
Expresa la ecuación en forma punto pendiente
Expresa la ecuación en forma explícita

Primero reducimos la ecuación a:
Como en esta ecuación los denominadores corresponden con ux yuy:
ux = 4
uy = -2
Vector director (u): (4, -2)
Como en esta ecuación los términos independientes del numerador coinciden con x0, y0:
Punto por el que pasa (A): (2, -3)

Forma general:


Punto pendiente:





Explícita


2. Dada la ecuación de la recta

Expresa la ecuaciónen forma explícita
Expresa la ecuación en forma punto pendiente
Expresa la ecuación en forma continua

Primero deberemos hallar un v. director y un p. pasa
Vector director (u): (-1, 2)
Punto por el que pasa (A): (2, -3)

Forma explícita:

Sustituyendo:


Punto Pendiente:

Continua:


3. Dado el triangulo de vértices A (1,1), B (3,5) y C (5,2), se pide:
a) Dar enforma continua las ecuaciones de la recta que contienen a los lados.
b) Dar en forma general o implícita la altura sobre el lado “a”.
c) Expresar en forma paramétrica la mediana sobre el lado “b”.
d) Dar en forma punto pendiente la mediatriz del lado “c”.

a) Ecuación Lado a
Punto por el que pasa B (3,5)
Vector director = (5-3,2-5) = (2,-3)


Ecuación Lado b
Punto por el que pasa A (1,1)Vector director = (5-1,2-1) = (4,1)

Ecuación Lado c
Punto por el que pasa A (1,1)
Vector director = (3-1,5-1) = (2,4) = (1,2)

Altura sobre el lado a
b) Vector director PARA CONSEGUIR UN VECTOR PERPENDICULAR A UNO DADO, COMO SU PRODUCTO ESCALAR DEBE SER CERO, INTERCAMBIAMOS LAS COMPONENTES Y EL SIGNO A UNA DE ELLAS.
= (2,-3) = ( 3,2)

Punto por el que pasa A(1,1)


c) Mediana sobre “b”
M.p.m ; M = = ( 3 , )
Vector director = (
Punto por el que pasa (3,5)
x = x0 + λux x = 3
y = y0 + λuY y =

d) Mediatriz lado “c”
Pm m = (2,3)
Vector director

(-2,1) Punto por el que pasa m (2,3)
M = pendiente
y - y0 = m (x - x0) y - 3 (x-2)

4. En el problema anterior explica razonadamente como sepodría calcular el área de un triángulo, calcular el otrocentro y el centro de gravedad del triangulo
Formamos un sistema con la ecuación de la recta que contiene la altura y con la ecuación de la recta con lado A, la solución del sistema nos da P.
 
Altura │AP│
Base | BC | y el área es base por altura partido por dos.
Ortocentro: Para calcularlo como ya tenemos la ecuación de laaltura sobre el lado A, calculamos la altura del lado B, la resolución del sistema formado por ambas ecuaciones dará el ortocentro.
Vector director

Pasa por B (3,5)
 4x-12=-y+5  4x+y-17=0
Para calcular el centro de gravedad, la mediana sobre b ya la conocemos , trazamos otra mediana, hacemos por ejemplo la mediana sobre sobre C. La intersección es el baricentro.
Mediana sobre el lado cPunto medio de BA (2,3)
Mc = -> 5x-6y+1=0

Explicación. No hace falta más que darse cuenta de que si x es siempre 3 en una de las medianas, el baricentro tiene que tener de abcisa x = 3, por lo tanto sustituimos la x por 3 en 5x-6y+1= 0 y nos da y
G (3, )
Comprobación: El baricentro por ser el centro de gravedad del triángulo cumple que:
;
En nuestro caso:

5. Unarecta x + 2y = 9 es mediatriz de un segmento AB cuyo extremo A tiene por
coordenadas(2,1). Halla las coordenadas del otro extremo B:

El vector ┴ r tendrá de componentes (AB) → (1,2)

Dicho vector es el director de la recta que pasa por A y por B.

Conocemos y un punto por el que pasa A (2,1), calculamos la ecuación de dicha recta; la intersección de dicha recta con la recta r da el punto...