geometria

2

Vectores coordenados o algebraicos
2.1

Introducción

Consideraremos, como ya se había anunciado, al plano provisto de un sistema cartesiano
µ ¶
a
de números
xy, lo cual permite identificar cada punto del plano con un par ordenado
b
reales, según se explicó en el capítulo anterior.
De acuerdo con la definición de igualdad de vectores geométricos, y dado que entre los
infinitosvectores iguales a un vector dado hay uno (y sólo uno) con punto inicial en el
origen O, podemos considerar que el conjunto de todos los vectores geométricos del plano
se reduce a los que tienen su punto inicial en el origen. (Ver figura 2.1).

Figura 2.1.

Ahora bien, esµ ¶
evidente que cada vector con punto inicial en el origen O determina un
a
único punto P =
del plano el cual es suextremo final y, recíprocamente, cada punto
b
µ ¶
a
P =
del plano es el extremo final de un único vector con punto inicial en el origen, el
b
−
−
→
cual es el vector OP , es decir, el vector de posición del punto P . (Ver figura 2.2).
53

54

2. Vectores coordenados o algebraicos

Figura 2.2.

Tenemos así la correspondencia biunívoca
−
−
→
OP ←→ P
entre el conjunto de los vectoresde con su punto inicial en el origen y el conjunto de los
puntos del plano, es decir, entre el conjunto de los vectores posición y el conjunto R2 .
De acuerdo con dicha correspondencia, las operaciones suma y producto por escalar
con vectores de posición, inducen una suma y un producto por escalar con pares ordenados
de números reales como se indica a continuación.
µ ¶
µ ¶
−
−
→ −
−
→a
c
Consideremos vectores de posición OP y OQ siendo P =
yQ=
. Como
b
d
−
−
→ −→ ³ −
−
→
→
−´ ³ −
→
→
−´
→
−
→
−
OP + OQ = a i + b j + c i + d j = (a + c) i + (b + d) j
entonces
µ
¶
−
−
→ −
−
→ −
−
→
a+c
OP + OQ = OR siendo R =
b+d
lo cual sugiere definir P + Q como el punto R, es decir, definir
¶
µ ¶ µ ¶ µ
a+c
c
a
=
+
b+d
d
b

Ilustramos lo anterior enla figura 2.3, en la cual a, b, c y d son todos positivos.

(2.1)

2.2. Suma y producto por escalar en R2

55

Figura 2.3.

Análogamente, como para cada r ∈ R se tiene

entonces

³− ´
³ −
−
→
→
→
−´
→
−
→
−
r OP = r a i + b j = (ra) i + (rb) j
µ ¶
³− ´ −
−
→
→
ra
r OP = OS siendo S =
rb

lo cual sugiere definir rP como el punto S, es decir definir
µ ¶ µ ¶
a
rar
=
.
b
rb

(2.2)

Por lo anterior se define en R2 (es decir, en el conjunto de puntos del plano) una suma
y un producto por escalar, de acuerdo con las igualdades (2.1) y (2.2).

2.2

Suma y producto por escalar en R2

Dados X =
rX como

µ ¶
µ ¶
x
u
yU =
en R2 y el escalar r, definimos la suma X +U y el producto
y
v
¶
µ ¶
µ
rx
x+u
y
rX =
X +U =
ry
y+v

Esnecesario insistir en que estas operaciones en R2 han sido definidas de tal modo que
−→ −→ −
−
−
−
→
X + U = R ⇔ OX + OU = OR
−→ −
−
→
rX = S ⇔ r OX = OS

56

2. Vectores coordenados o algebraicos

y en general,
−→
−
−→ −
−
→
rX + tU = T ⇔ rOX + tOU = OT
cualesquiera sean X, U, R, S, T en R2 y r, t en R.
En adelante, los elementos de R2 (a los cuales nos veniamos refiriendo comopuntos) se
dirán también vectores coordenados o vectores algebraicos.
Dado X en R2 , todo vector de la forma rX, con r ∈ R, se dirá un múltiplo escalar
de X.
µ
µ ¶
Ejemplo 2.1 ¶
4
−2
Sean X =
yU=
. Hallar X + U y (−1) X.
−1
2
Solución:

¶ µ ¶ µ
¶ µ ¶
4
−2
4−2
2
X +U =
+
=
=
−1
2
−1 + 2
1
¶ µ ¶
µ ¶ µ
−4
(−1) 4
4
. ¥
=
=
(−1) X = (−1)
1
(−1) (−1)
−1
µ ¶
0• El vector algebraico
es llamado el vector nulo o vector cero de R2 y se
0
denotará por la letra O. Este vector es tal que
µ

X + O = X para cualquier X ∈ R2 .
µ ¶
µ ¶
x
−x
• El inverso aditivo del vector X =
, denotado −X, se define como −X =
.
y
−y
Se tiene que
X + (−X) = O y
− X = (−1)X.
µ ¶
µ ¶
Ejemplo 2.2
−1
1
(figura 2.4).
es −X =
El inverso aditivo del vector X =...